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Définitions et Généralités : suites géométriques

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1. Définition

Une suite (un) est géométrique s’il existe q0 tel que : nN,un+1=un×q
Le nombre q est appelé raison de la suite.

Méthode :
Pour établir qu’une suite est géométrique, on peut conjecturer en calculant u1u0, puis u2u1.
Si on obtient à chaque fois le même nombre réel (la raison), alors la conjecture semble vraie.
On calcule ensuite dans le cas général le quotient de deux termes consécutifs : un+1un, et on établit ainsi que ce quotient est constant.

Attention cependant : pour avoir le droit d'utiliser cette rédaction, il ne faut pas oublier de démontrer que tous les termes de la suite sont bien non nuls si cela n'est pas indiqué dans l'énoncé.

Une autre rédaction possible : une fois la recherche effectuée au brouillon, il est toujours possible pour éviter d'avoir des quotients de le rédiger en utilisant ce qu'on a découvert mais ainsi

Pour tout n, un+1====q×un.

2. Terme général d’une suite géométrique

Si l’on connaît la raison de la suite ainsi qu’un terme (ici, on prend le terme de rang p), alors nous pouvons calculer n’importe quel terme à partir de la formule suivante :
nN,un=up×qnp

picture-in-text

En particulier :

  • Si p=0, on a : un=u0×qn

  • Si p=1, on a : un=u1×qn1

3. Somme des premiers termes

S=1er terme×1qnombre de termes1q

En particulier :

  • Si Sn=u0+u1++un, il y a (n+1) termes, et alors :
    Sn=u0×1qn+11q

  • Si Sn=u1+u2++un, il y a n termes, et alors :
    Sn=u1×1qn1q

Conseil : apprendre à compter les termes de la suite

picture-in-textExemple :
Pour tout entier naturel n non nul et pour tout réel q1, on a :
1+q+q2++qn=1qn+11q