1. Définition
Une suite (un) est géométrique s’il existe q≠0 tel que : ∀n∈N,un+1=un×q
Le nombre q est appelé raison de la suite.
Méthode :
Pour établir qu’une suite est géométrique, on peut conjecturer en calculant u1u0, puis u2u1.
Si on obtient à chaque fois le même nombre réel (la raison), alors la conjecture semble vraie.
On calcule ensuite dans le cas général le quotient de deux termes consécutifs : un+1un, et on établit ainsi que ce quotient est constant.
Attention cependant : pour avoir le droit d'utiliser cette rédaction, il ne faut pas oublier de démontrer que tous les termes de la suite sont bien non nuls si cela n'est pas indiqué dans l'énoncé.
Une autre rédaction possible : une fois la recherche effectuée au brouillon, il est toujours possible pour éviter d'avoir des quotients de le rédiger en utilisant ce qu'on a découvert mais ainsi
Pour tout n, un+1=⋯=⋯=⋯=q×un.
2. Terme général d’une suite géométrique
Si l’on connaît la raison de la suite ainsi qu’un terme (ici, on prend le terme de rang p), alors nous pouvons calculer n’importe quel terme à partir de la formule suivante :
∀n∈N,un=up×qn−p
En particulier :
Si p=0, on a : un=u0×qn
Si p=1, on a : un=u1×qn−1
3. Somme des premiers termes
S=1er terme×1−qnombre de termes1−q
En particulier :
Si Sn=u0+u1+⋯+un, il y a (n+1) termes, et alors :
Sn=u0×1−qn+11−qSi Sn=u1+u2+⋯+un, il y a n termes, et alors :
Sn=u1×1−qn1−q
Conseil : apprendre à compter les termes de la suite
Exemple :
Pour tout entier naturel n non nul et pour tout réel q≠1, on a :
1+q+q2+⋯+qn=1−qn+11−q