La fonction logarithme népérien : définition et propriétés analytiques

Pré requis

La fonction logarithme est construite à partir de la fonction exponentielle. Il faut donc absolument connaître les propriétés algébriques de cette fonction avant d'aborder cette fiche. Elle fera également appel à des propriétés de calcul numérique et littéral. Il ne faut pas que ces aspects calculatoires soient des obstacles.

Enjeu

La fonction logarithme permet de compléter la liste des fonctions vues dans le secondaire. Tu as ainsi à ta disposition tout un panel de fonctions dont tu dois connaître les propriétés. La fonction logarithme est très intéressante quand l'inconnue de notre problème se trouve être un exposant. Elle est également très utile en physique-chimie pour définir des échelles (pH, échelle de Richter, échelle sonore,...)

Définition : La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la bijection réciproque de la fonction exp :
Pour tout $x$ de ]0 ; +$\infty$[ et tout $y$ de $\mathbb{R}$, $\ln x = y \Longleftrightarrow e^y = x$.

Propriétés : La fonction $\ln$ a pour ensemble de définition ]0 ; +$\infty$[ ; elle vérifie :
$\circ\quad$ Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs, $\ln(xy) = \ln x + \ln y$.
$\circ\quad$Pour tout réel $x$, $\ln (e^x) = x$.
$\circ\quad$Pour tout réel $x$ strictement positif, $e^{\ln x} = x$.
$\circ\quad$$\ln$ s'annule en 1 : $\ln 1 = 0$.

$\circ\quad$Signe : $\ln(x) \le 0$ sur $]0 ; 1]$ et $\ln(x) \gt 0$ sur ]1 ; +$\infty$[

Pour tous $x$ et $y$ de ]0 ; +$\infty$[ et tout entier $n$ :
$\circ\quad$$\ln(xy) = \ln x + \ln y$
$\circ\quad$$\ln \dfrac{1}{x} = - \ln x$
$\circ\quad$$\ln \sqrt x = \dfrac{1}{2} \ln x$
$\circ\quad$$\ln \dfrac{x}{y} = \ln x - \ln y$$\circ\quad$
$\circ\quad$$\ln (x^n) = n \ln x$

Dérivation : $\ln$ est dérivable (donc continue) sur ]0 ; +$\infty$[ et, pour tout réel $x$ > 0 :
$\ln'(x)= \dfrac{1}{x}$


$\ln$ est strictement croissante sur ]0 ; +$\infty$[, donc, pour tous $x$ et $y$ de ]0 ; +$\infty$[ :
$\circ\quad$$x \lt y \Longleftrightarrow \ln x \lt \ln y$
$\circ\quad$$x = y \Longleftrightarrow \ln x = \ln y$

Si une fonction $u$ est positive et ne s'annule pas sur un intervalle $I$, et si $u$ est dérivable sur $I$, alors $\ln u$ est dérivable sur $I$ et, pour tout $x$ de $I$ :
$(\ln u)'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$

Récapitulatif : Variations et représentation graphique
Voici le tableau de variations complet.

Ainsi que la courbe représentative, qu'il est judicieux de mémoriser afin de retrouver très vite et sûrement les résultats.

On appelle fonction logarithme décimal la fonction, notée $\log$, et définie sur ]0 ; +$\infty$[ par :
$\log (x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}$

Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$par $f(x)=\ln (x^2+x+1)$

Solution :

La fonction $u$ définie par $u(x)=x^2+x+1$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ comme fonction polynôme du 2^nd degré.
La fonction $\ln$ est définie et dérivable sur $]0;+\infty[$.

Étude du signe de $x^2+x+1$
$\Delta=1^2-4\times 1\times 1=1-4=-3\lt 0$ donc le trinôme du second degré est du signe de $a=1$ coefficient des $x^2$ pour tout réel, donc strictement positif.

Ainsi, la fonction $f=\ln u$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$

Limite au voisinage de $-\infty$
$\lim\limits_{x\to -\infty}\ln (x^2+x+1)=+\infty$ par composition des limites
$\lim\limits_{x\to -\infty}(x^2+x+1)=\lim\limits_{x\to -\infty}(x^2)=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty}\ln (X)=+\infty$

Limite au voisinage de $+\infty$
De même, $\lim\limits_{x\to +\infty}\ln (x^2+x+1)=+\infty$ par composition des limites
$\lim\limits_{x\to +\infty} (x^2+x+1)=\lim\limits_{x\to +\infty} (x^2)=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln (X)=+\infty$

Dérivée de $f$
$\forall x\in \mathbb{R}, f'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}$

Tableau de variations de $f$
Comme $\forall x\in \mathbb{R}, x^2+x+1\gt 0$, on déduit que $f'(x)$ est du signe de $2x+1$.

On a $f\left(\frac{-1}{2}\right)=\ln \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1\right)=\ln \left(\frac{3}{4}\right)=\ln 3-\ln 4$