Définitions et généralités : les différents modes de génération

Définition : Une suite numérique est une liste infinie de nombres réels où chaque terme est numéroté (le rang). Une suite numérique $u$ ou $(u_n)$ est une fonction de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ tel que :$\boxed{u\;:\;n\mapsto u(n)=u_n}$

$n$ est appelé indice de $u$ et $u_n$ est appelé terme d’indice $n$, appelé aussi terme général de la suite $(u_n)$. Il joue le même rôle que l’expression $f(x)$ d’une fonction $f$.

Suites définies par formule explicite : Une suite est définie par formule explicite si on peut calculer directement n’importe quel terme à partir de son indice. Il existe alors une fonction $f$ telle que $u_n = f(n)$ ( $u_n$ en fonction de $n$ ), $f$ étant définie sur $\mathbb{N}$.

Exemple : Soit $u_n=\sqrt{n+1}$, on a $u_n = f(n)$ avec $f(x)=\sqrt{x+1}$ et $x\in[0\;;\;+\infty[$.

Suites définies par récurrence : Avec les suites définies par récurrence, on ne peut pas directement calculer un terme à partir de son indice. Il faut procéder de proche en proche : « pour calculer le deuxième, j’ai besoin du premier, etc. »

$\circ\quad$Le terme initial est donné.

$\circ\quad$$u_{n+1}$ est exprimé en fonction de $u_n$ : $u_{n+1} = f(u_n)$.

Exemple : Soit $(u_n)$ la suite définie par :
$u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \dfrac 12 u_n + 3$.

On obtient : $u_1=\dfrac 12\times 2+3=4$ ; $u_2=\dfrac 12 u_1+3=\dfrac 12 \times 4+3=5$ et ainsi de proche en proche.

Conseil :

Lorsque l'énoncé donne une expression de $u_n$ et que, pour les besoins d'une démonstration on désire obtenir $u_{n+1}$, il suffit de remplacer la lettre $n$ par le bloc $(n+1)$.

Exemple : Pour $n\in \mathbb N$, on donne $u_n=\dfrac{1-2n}{n+3}$. Exprimer $u_{n+1}$.

$u_{n+1}=\dfrac{1-2(n+1)}{(n+1)+3}=\dfrac{1-2n-2}{n+1+3}=\dfrac{-2n-1}{n+4}$