Définition de la dérivée

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I. Nombre dérivé, fonction dérivée

Définition :
Soit ff une fonction définie sur II et aa un réel appartenant à II.
Le taux d’accroissement de ff entre aa et a+ha + h est la fonction définie par :
τ(h)=f(a+h)f(a)h\tau(h) = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}
h0h \neq 0 et a+hIa + h \in I.

Définition :
Si τ(h)\tau(h) tend vers un unique nombre réel quand hh tend vers 00, on dit que ff est dérivable en aa.
Ce nombre réel est appelé nombre dérivé de ff en aa. On le note f(a)f'(a).

On écrit alors :
f(a)=limh0τ(h)=limh0f(a+h)f(a)hf'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \tau(h) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}

Remarque :
On peut également définir f(a)f'(a), s’il existe, de la manière suivante :
f(a)=limxaf(x)f(a)xaf'(a) = \displaystyle\lim_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}

Définition :
Dire que ff est dérivable sur II signifie que ff est dérivable en tout réel xx de II.
La fonction dérivée de ff, notée ff', est la fonction qui, à tout xx, associe le nombre f(x)f'(x).

II. Tangente à la courbe d’une fonction

picture-in-textPropriété : ff est une fonction dérivable en un réel aa de II.
Dans un repère, la tangente à la courbe représentative CC de la fonction ff au point d’abscisse aa est la droite TT qui passe par le point A(a;f(a))A(a ; f(a)) et de coefficient directeur f(a)f'(a).

Une équation de la tangente TT est : y=f(a)(xa)+f(a)y = f'(a)(x - a) + f(a)

III. Signe de la dérivée et sens de variation


Théorème : Soit ff une fonction dérivable sur II.
\circ\quad ff est croissante sur II si et seulement si f0f' \geq 0
\circ\quadff est décroissante sur II si et seulement si f0f' \leq 0
\circ\quad ff est constante sur II si et seulement si f=0f' = 0

IV. Dérivée et extremum local


Propriétés : Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle ouvert II et cc un nombre réel de II.
\circ\quad Si f(c)f(c) est un extremum local de ff, alors f(c)=0f'(c) = 0
\circ\quad Si ff' s’annule en cc en changeant de signe, alors f(c)f(c) est un extremum local.

picture-in-textExemple rédigé :

Trouver le nombre dérivé de la fonction f(x)=xf(x) = \sqrt{x} en a=4a = 4.

Étape 1 : On calcule τ(h)=f(a+h)f(a)h\tau(h)=\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} et on regarde si ce rapport admet une limite finie pour a=4a=4 lorsque hh tend vers 00.
Le nombre dérivé en aa est donné par :

Étape 2 : Remplacer f(x)f(x) par x\sqrt{x} et aa par 44
τ(h)=4+h4h\tau(h) = \dfrac{\sqrt{4 + h} - \sqrt{4}}{h}

Étape 3 : Simplifier l'expression
Pour simplifier, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du numérateur :
τ(h)=(4+h2)(4+h+2)h(4+h+2)\tau(h)= \dfrac{\big(\sqrt{4 + h} - 2\big) \cdot \big(\sqrt{4 + h} + 2\big)}{h \cdot \big(\sqrt{4 + h} + 2\big)}
τ(h)=(4+h)4h(4+h+2)\tau(h) = \dfrac{(4 + h) - 4}{h \cdot \big(\sqrt{4 + h} + 2\big)}
τ(h)=hh(4+h+2)\tau(h) = \dfrac{h}{h \cdot \big(\sqrt{4 + h} + 2\big)}

Étape 4 : Simplifier encore
τ(h)=14+h+2\tau(h)= \dfrac{1}{\sqrt{4 + h} + 2}

Étape 5 : Calculer la limite
Quand h0h \to 0, 4+h4=2\sqrt{4 + h} \to \sqrt{4} = 2. Donc :
limh0τ(h)=12+2=14\displaystyle\lim_{h\to 0}\tau(h) = \dfrac{1}{2 + 2} = \dfrac{1}{4}

Conclusion :
ff est dérivable en 44 et le nombre dérivé de la fonction en a=4a = 4 est f(4)=14f'(4) = \dfrac{1}{4}.