Définition de la dérivée

I. Nombre dérivé, fonction dérivée

Définition :
Soit $f$ une fonction définie sur $I$ et $a$ un réel appartenant à $I$.
Le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a + h$ est la fonction définie par :
$\tau(h) = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$
où $h \neq 0$ et $a + h \in I$.

Définition :
Si $\tau(h)$ tend vers un unique nombre réel quand $h$ tend vers $0$, on dit que $f$ est dérivable en $a$.
Ce nombre réel est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$. On le note $f'(a)$.

On écrit alors :
$f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \tau(h) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$

Remarque :
On peut également définir $f'(a)$, s’il existe, de la manière suivante :
$f'(a) = \displaystyle\lim_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}$

Définition :
Dire que $f$ est dérivable sur $I$ signifie que $f$ est dérivable en tout réel $x$ de $I$.
La fonction dérivée de $f$, notée $f'$, est la fonction qui, à tout $x$, associe le nombre $f'(x)$.

II. Signe de la dérivée et sens de variation

Théorème : Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$.
$\circ\quad$ $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f' \geq 0$
$\circ\quad$$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f' \leq 0$
$\circ\quad$ $f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f' = 0$

III. Dérivée et extremum local

Propriétés : Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $c$ un nombre réel de $I$.
$\circ\quad$ Si $f(c)$ est un extremum local de $f$, alors $f'(c) = 0$
$\circ\quad$ Si $f'$ s’annule en $c$ en changeant de signe, alors $f(c)$ est un extremum local.

Exemple rédigé :

Trouver le nombre dérivé de la fonction $f(x) = \sqrt{x}$ en $a = 4$.

Étape 1 : On calcule $\tau(h)=\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ et on regarde si ce rapport admet une limite finie pour $a=4$ lorsque $h$ tend vers $0$.
Le nombre dérivé en $a$ est donné par :

Étape 2 : Remplacer $f(x)$ par $\sqrt{x}$ et $a$ par $4$
$\tau(h) = \dfrac{\sqrt{4 + h} - \sqrt{4}}{h}$

Étape 3 : Simplifier l'expression
Pour simplifier, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du numérateur :
$\tau(h)= \dfrac{\big(\sqrt{4 + h} - 2\big) \cdot \big(\sqrt{4 + h} + 2\big)}{h \cdot \big(\sqrt{4 + h} + 2\big)}$
$\tau(h) = \dfrac{(4 + h) - 4}{h \cdot \big(\sqrt{4 + h} + 2\big)}$
$\tau(h) = \dfrac{h}{h \cdot \big(\sqrt{4 + h} + 2\big)}$

Étape 4 : Simplifier encore
$\tau(h)= \dfrac{1}{\sqrt{4 + h} + 2}$

Étape 5 : Calculer la limite
Quand $h \to 0$, $\sqrt{4 + h} \to \sqrt{4} = 2$. Donc :
$\displaystyle\lim_{h\to 0}\tau(h) = \dfrac{1}{2 + 2} = \dfrac{1}{4}$

Conclusion :
$f$ est dérivable en $4$ et le nombre dérivé de la fonction en $a = 4$ est $f'(4) = \dfrac{1}{4}$.