I. Nombre dérivé, fonction dérivée
Définition :
Soit f une fonction définie sur I et a un réel appartenant à I.
Le taux d’accroissement de f entre a et a+h est la fonction définie par :
τ(h)=f(a+h)−f(a)h
où h≠0 et a+h∈I.
Définition :
Si τ(h) tend vers un unique nombre réel quand h tend vers 0, on dit que f est dérivable en a.
Ce nombre réel est appelé nombre dérivé de f en a. On le note f′(a).
On écrit alors :
f′(a)=limh→0τ(h)=limh→0f(a+h)−f(a)h
Remarque :
On peut également définir f′(a), s’il existe, de la manière suivante :
f′(a)=limx→af(x)−f(a)x−a
Définition :
Dire que f est dérivable sur I signifie que f est dérivable en tout réel x de I.
La fonction dérivée de f, notée f′, est la fonction qui, à tout x, associe le nombre f′(x).
II. Signe de la dérivée et sens de variation
Théorème : Soit f une fonction dérivable sur I.
∘ f est croissante sur I si et seulement si f′≥0
∘f est décroissante sur I si et seulement si f′≤0
∘ f est constante sur I si et seulement si f′=0
III. Dérivée et extremum local
Propriétés : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et c un nombre réel de I.
∘ Si f(c) est un extremum local de f, alors f′(c)=0
∘ Si f′ s’annule en c en changeant de signe, alors f(c) est un extremum local.
Trouver le nombre dérivé de la fonction f(x)=√x en a=4.
Étape 1 : On calcule τ(h)=f(a+h)−f(a)h et on regarde si ce rapport admet une limite finie pour a=4 lorsque h tend vers 0.
Le nombre dérivé en a est donné par :
Étape 2 : Remplacer f(x) par √x et a par 4
τ(h)=√4+h−√4h
Étape 3 : Simplifier l'expression
Pour simplifier, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du numérateur :
τ(h)=(√4+h−2)⋅(√4+h+2)h⋅(√4+h+2)
τ(h)=(4+h)−4h⋅(√4+h+2)
τ(h)=hh⋅(√4+h+2)
Étape 4 : Simplifier encore
τ(h)=1√4+h+2
Étape 5 : Calculer la limite
Quand h→0, √4+h→√4=2. Donc :
limh→0τ(h)=12+2=14
Conclusion :
f est dérivable en 4 et le nombre dérivé de la fonction en a=4 est f′(4)=14.