Découvrir la sphère

I. Rappels de cours

1) Section d’une sphère par un plan

Soit une sphère de centre $O$ et de rayon $R$ et soit un plan 𝒫 .

Notons $h$ la distance entre le point $O$ et le plan 𝒫 . Alors $h =OH$.

• Si $h$ > $R$, alors le plan ne coupe pas la sphère.
  
  
• Si $h=R$, alors le plan est tangent à la sphère :

• Si $h$ < $R$, alors le plan coupe la sphère. La section est un cercle :

2) Coordonnées géographiques

 On représente la Terre par une sphère.

• La section de la sphère par un plan passant par le centre de la sphère est un grand cercle. L’équateur est le grand cercle de la Terre perpendiculaire à la droite joignant le pôle nord et le pôle sud.

• Un méridien est un demi grand cercle perpendiculaire à l’équateur et joignant le pôle nord et le pôle sud.

• Un parallèle est un cercle parallèle à l’équateur.

 Tout point $P$ situé sur Terre est repéré par :

– sa longitude (Est ou Ouest) qui est la mesure d’angle entre le méridien où se trouve le point $P$ et le méridien de Greenwich 

– sa latitude (Nord ou Sud) qui est la mesure d’angle entre le parallèle où se trouve le point $P$ et l’équateur.

II. Méthodes

1) Étudier la section d’une sphère par un plan

Soit une sphère $S$ de centre $O$ et de rayon $R=15~cm$. On coupe cette sphère par un plan $P$ tel que la distance du point $O$ à ce plan (représentée par le segment $[OH]$ sur la figure) soit égale à $12~cm$.

Quelle est la nature de la section 𝒞 de la sphère $S$ et du plan $P$ ?

En donner les éléments caractéristiques (centre et mesure du rayon).

Conseils

Applique le théorème de Pythagore. 

Solution

La section d’une sphère par un plan est un cercle.

Ce cercle $C$ a pour centre $H$. Son rayon $r=HA$ peut être calculé en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle $AHO$ rectangle en $H$ :

$AH^2+OH^2=OA^2$,

soit $r^2=R^2-OH^2$

$\Leftrightarrow r^2=15^2-12^2=81$

donc $r=9~cm$.

2) Calculer la longueur d’un grand cercle

La Terre est assimilée à une boule de rayon $R=6~370~km$.

Calculer la longueur de l’équateur.

Solution

Nous savons que l’équateur est un grand cercle qui a même centre et même rayon que la Terre.

Notons $L$ la longueur de ce cercle. Alors :

$L=2 \times \pi \times R$,

soit $L=2 \times \pi \times 6~370$

ou encore, arrondie au $km$, $L=40~024~km$.