Agrandir et réduire des solides

I. Rappels de cours

Agrandissement et réduction

Lorsque toutes les dimensions d’une figure $F$ sont multipliées par un même nombre $k$, on obtient une figure $F'$ qui vérifie les propriétés suivantes :

• Si $k$ >$1$, $F'$ est un agrandissement de $F$.

• Si $0$ < $k$ < $1$, $F'$ est une réduction de $F$.

• L’aire de $F'$ se calcule en multipliant l’aire de $F$ par $k^2$.

• Le volume de $F'$ se calcule en multipliant le volume de $F$ par $k^3$.

II. Méthodes

1) Calculer un coefficient d’agrandissement

Une photographie d’identité rectangulaire possède une largeur de $3,5~cm$ et une hauteur de $4,5~cm$. Elle est agrandie et ses nouvelles dimensions sont : largeur $14~cm$ et hauteur $18~cm$.

Quel est le coefficient d’agrandissement ?

Solution

Nous pouvons remarquer que $\dfrac{14}{3,5}=\dfrac{18}{4,5}=4$.

Le coefficient d’agrandissement est égal à $4$.

C’est aussi le coefficient de proportionnalité.

2) Calculer l’aire d’un agrandissement

La maquette d’un terrain de rugby de forme rectangulaire possède les dimensions suivantes : longueur $40~cm$ et largeur $27,6~cm$.

a. Quelle est l’aire de cette maquette ?

b. Sachant que la maquette est à l’échelle $250$, déduire de l’aire de la maquette l’aire réelle du terrain de rugby.

Conseils

Identifie le coefficient d’agrandissement du terrain par rapport à la maquette.

Solution

a. Soit $a$ l’aire de la maquette. Alors $a=40 \times 27,6~cm^2$, soit $a=1~104~cm^2$.

b. Le terrain de rugby est un agrandissement de la maquette dans le rapport $250$. Son aire vaut $A=250^2 \times 1~104$, soit $A=69~000~000~cm^2$ ou encore $6~900~m^2$.

3) Calculer le volume d’une réduction

Neptune possède un aquarium ayant la forme d’un parallélépipède rectangle et qui peut contenir au maximum $198~L$ d’eau. Il décide d’en acheter un plus petit ayant la même forme mais dont les trois dimensions sont une réduction de $20 \%$ des dimensions du premier aquarium.

a. Calculer la contenance exacte en $cm^3$ du second aquarium.

b. En fait, le second aquarium possède une longueur de $72~cm$ et une largeur de $32~cm$. Quelle est la hauteur du premier aquarium ?

Conseils

Afin de ne pas perdre d’information, note les dimensions du premier aquarium dans un premier tableau et les dimensions du second aquarium dans un second tableau.

Solution

a. Les dimensions du second aquarium sont une réduction de $20 \%$ des dimensions du premier aquarium cela signifie que les dimensions du second aquarium sont égales à $80 \%$ des dimensions du premier aquarium. Il s’agit donc d’une réduction de coefficient $0,8$.

Notons $V_1$ et $V_2$ les volumes respectifs du premier et du second aquarium.

$V_2=(0,8)^3 \times V_1$ soit $V_2=(0,8)^3 \times 198=101,376~L$ ou $V_2=101~376~cm^3$.

b. La longueur $L$ du premier aquarium est égale à $\dfrac{72}{0,8}$, soit $90~cm$.

La largeur $l$ du premier aquarium est égale à $\dfrac{32}{0,8}$, soit $40~cm$.

La hauteur $h$ du premier aquarium est telle que $90 \times 40 \times h=198~000~cm^3$.

Nous obtenons $h=55~cm$.