Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Ou encore le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones et très souvent appelé le théorème de la bijection.

I. Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a ; b]$, alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a ; b]$.

Remarque :
$\circ\quad$ On peut aussi étendre ce corollaire aux intervalles ouverts en utilisant les limites.

Exemple :

Montrer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution sur $[-2 ; 0]$.

On sait que la fonction continue $g$ admet le tableau de variations suivant :

La fonction $g$ est continue sur $\mathbb{R}$.
D’après le tableau de variations :
Sur $[-2; 0]$, la fonction $g$ est continue, strictement croissante, et $0 \in [-6 ; 8]$.

Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $\alpha \in [-2 ; 0]$ telle que $g(\alpha) = 0$.

Remarque :
Dans le cas $\lambda=0$, on vérifie f(a)f(b)<0.

II. Exemple

Montrer que l'équation $\dfrac{2x+3}{x+1}=x^2$ admet une solution sur l'intervalle $[1;2]$.
L'équation $\dfrac{2x+3}{x+1}=x^2$ est équivalente à $\dfrac{2x+3}{x+1}-x^2=0$.
On pose $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f : x \mapsto \dfrac{2x+3}{x+1}-x^2$.
L'équation en question s'écrit : $f(x)=0$.

Le domaine de définition de $f$ est :

$\mathcal{D}_f = { x \in \mathbb{R} \text{ tel que } x+1 \neq 0 } = { x \in \mathbb{R} \text{ tel que } x \neq -1 } = ]-\infty; -1[ \cup ]-1; +\infty[$

Or $[1;2]\subset]-1;+\infty[$.

Donc $f$ est définie et continue sur $[1;2]$ comme somme des deux fonctions $x\mapsto \dfrac{2x+3}{x+1}$ et $x\mapsto -x^2$, continues sur $[1;2]$.
De plus : $f(1)=\dfrac{5}{2}-1=\dfrac{3}{2} \text{ et } f(2)= \dfrac{7}{3}-4=-\dfrac{5}{3}$.
Alors : $f(1)f(2)\lt 0$.

Et on conclut, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur $[1;2]$.
Donc : l'équation $\dfrac{2x+3}{x+1}=x^2$ admet une solution sur l'intervalle $[1;2]$.

III. Méthode d'encadrement

Parmi les méthodes pour déterminer un encadrement de la solution d’une équation du type $f(x) = k$, il en existe deux simples : la méthode par balayage et la méthode de dichotomie.

Encadrement d’une solution par dichotomie :
Le principe est de déterminer successivement l’intervalle dans lequel se situe la solution $\alpha$ en divisant par deux l’intervalle à chaque étape.

Pour cela, on calcule le milieu $m$ de l’intervalle $[a ; b]$ :

$m = \dfrac{a + b}{2}$

Puis, on regarde si la solution $\alpha$ se trouve dans $[a ; m]$ ou bien dans $[m ; b]$.

$\circ\quad$ Si la solution est dans $[a ; m]$, on réitère le procédé dans $[a ; m]$.
$\circ\quad$ Si la solution est dans $[m ; b]$, on réitère le procédé dans $[m ; b]$.

_{Merci à Panter pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche.}