Coefficient de corrélation linéaire – Autres ajustements

La pertinence d’un ajustement affine des variables X et Y peut être évaluée par le calcul de leur coefficient de corrélation linéaire. On peut alors envisager d’autres ajustements.

Définition : Le coefficient de corrélation linéaire des variables X et Y est : $r = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}$

Comme pour $\sigma_{xy}$ et $\sigma_x$, on définit $\sigma_y = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i^2 - \bar{y}^2}$

Interprétation : $r$ est compris entre $-1$ et $1$. Il mesure la « qualité » d’une régression linéaire entre X et Y. Plus précisément :

$\circ\quad$ si $|r|$ est proche de $1$ ($r$ proche de $1$ ou de $-1$), la relation linéaire entre X et Y est forte, un ajustement linéaire est pertinent ;

$\circ\quad$ si $|r| = 1$, les points du nuage sont alignés ; si $r = 0$, il n’existe pas de relation linéaire entre X et Y, mais il peut exister une autre relation ;

$\circ\quad$ si r > 0, la droite d’ajustement a un coefficient directeur positif ; si r < 0, ce coefficient directeur est négatif.

À noter

Une corrélation entre X et Y n’est pas une « relation de cause à effet ». Souvent, X et Y sont corrélées parce qu’elles ont une cause commune.

$\circ\quad$ Si les points du nuage semblent proches d’une hyperbole d’équation $y = \dfrac{1}{a x + b}$, on pose, pour tout $i$, $z_i = \dfrac{1}{y_i}$. On détermine l’équation $z = a x + b$ d’une droite d’ajustement du nuage formé des points de coordonnées $(x_i ; z_i)$ et on ajuste le nuage $(x_i ; y_i)$ par la courbe d’équation $y = \dfrac{1}{a x + b}$.

$\circ\quad$ Si les points du nuage semblent proches d’une courbe exponentielle, on pose, pour tout $i$, $z_i = \ln(y_i)$. On détermine l’équation $z = A x + B$ d’une droite d’ajustement du nuage formé des points de coordonnées $(x_i ; z_i)$ et on ajuste le nuage $(x_i ; y_i)$ par la courbe d’équation $y = b e^{A x}$, avec $b = e^B$.

En posant $z_i = \dfrac{1}{y_i}$ ou $z_i = \ln(y_i)$, on fait un changement de variable.

Méthode : réaliser un ajustement non linéaire d’un nuage de points
Le tableau ci-dessous donne l’évolution de la production d’énergie d’origine éolienne en France de 2000 à 2007 (exprimée en milliers de tonnes d’équivalent pétrole, ktep). Source : INSEE, avril 2008.

a. Calculer le coefficient de corrélation linéaire de $X$ et $Y$. Un ajustement linéaire paraît-il approprié ?

b. Représenter le nuage de points associé à la série et justifier la pertinence d’un ajustement non linéaire.

c. Réaliser un ajustement exponentiel du nuage précédent.

Conseils

c. Calculez, pour tout entier $i$, le nombre $z_i = \ln(y_i)$ et déterminez l’équation réduite d’une droite d’ajustement du nuage formé des points de coordonnées $(x_i ; z_i)$.

a. D’après la calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire de $X$ et $Y$ est $r = 0,843$ en arrondissant au millième.

$|r|$ n’est pas très proche de $1$, un ajustement affine ne semble pas approprié.

b. Les points du nuage ci-contre semblent proches d’une courbe exponentielle, un ajustement exponentiel paraît plus approprié qu’un ajustement affine.

c. Pour tout $i$, on pose $z_i = \ln(y_i)$.

D’après la calculatrice, en arrondissant les coefficients au centième, la droite des moindres carrés ajustant le nuage formé des points de coordonnées $(x_i ; z_i)$ a pour équation $z = 0,54x + 1,92$.

Or $e^{1,92} = 6,82$ (arrondi au centième).

Donc le nuage initial peut être ajusté par la courbe exponentielle d’équation $y = 6,82 \times e^{0,54x}$ (en pointillés sur le graphique).