Calculs de primitives

Méthode 

Déterminer des primitives

Déterminer les primitives des fonctions suivantes :

a. $f(x)=2x^3+\dfrac 3x$, pour tout $x\in ]0\;;\;+\infty[$;                      

b. $g(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$, pour tout x ∈ ℝ.

a. Étape 1 La fonction f est continue sur ]0 ; + ∞[ comme somme de fonctions continues ; elle y admet donc des primitives.

Étape 2 $x\mapsto \dfrac{x^4}{4}$ est une primitive de $x\mapsto x^3$, et $x\mapsto \ln x$ est une primitive de $x\mapsto \dfrac1x$ sur ]0 ; + ∞[ ; donc les primitives de f sur $]0\;;\;+\infty[$ sont de la forme $F(x)=2\times \dfrac{x^4}{4}+3\ln x+C$$=\dfrac{x^4}{2}+3\ln x+C$, où C est une constante réelle.

b. Étape 1 La fonction g est continue sur ℝ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas ; elle admet donc des primitives sur ℝ.

Étape 2 Posons $u(x) =1+x^2$. La fonction $u$ est dérivable sur ℝ et $u'(x)=2x$.

Pour tout $x$ ∈ ℝ, $g(x)=\dfrac12\times \dfrac{2x}{1+x^2}=\dfrac12\times \dfrac{u'(x)}{u(x)}$, avec pour tout réel $x\,,\; u(x) = 1+x^2$.

Donc les primitives de g sur ℝ sont de la forme $G(x)=\dfrac12\ln (1+x^2)+C$ où $C$ est une constante réelle.