Apprendre à utiliser des symboles importants dans le raisonnement par récurrence

Le symbole mathématique $\sum$ permet d'exprimer plus simplement des sommes et donc des expressions mathématiques.

Par exemple, la somme $0+1+\cdots +10$ peut s'écrire :
$0+1+⋯+10=\displaystyle\sum_{k=0}^{10}​k$
Ce terme se lit "somme pour $k$ allant de 0 à 10 de $k$".
Cela signifie que l'on fait prendre au nombre $k$ toutes les valeurs entières entre 0 et 10 et qu'on fait la somme des nombres $k$ :

On met la première valeur entière en bas du symbole, dans notre cas c'est 0.

On met la dernière valeur entière en haut du symbole, ici c'est 10.

La lettre $k$ est muette, elle ne sert qu'à compter et n'intervient pas dans le résultat final. On peut la remplacer par n'importe quelle autre variable $i, j, \cdots$ (on évite l'utilisation des lettres déjà utilisées dans l'exercice) :

Prenons la somme du premier exemple du paragraphe précédent. On pouvait écrire :

Remarque : Dans l'exemple 1, on ne pouvait pas débuter par $k=0$ car le dénominateur ne peut pas être nul.

Comme son homologue $\sum$ pour les sommes, le symbole mathématique $\prod$ permet d'exprimer plus simplement des produits. Par exemple, le produit $1\times2\times\cdots \times10$ peut s'écrire :
$1\times 2\times\cdots 10=\displaystyle\prod_{k=1}^{10}k$

Remarquer que le produit présenté précédemment : $\displaystyle \prod_{k=1}^{10} \color{black}k=1\times\cdots \times10=10!$

Énoncé : Montrer que :

Montrons par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N}\text{ : } \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Notons $\mathcal{P}(n)\text{ : } \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Il est conseillé d'écrire les termes avec sigma sous forme d'addition : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^2=0^2+1^2+2^2+\cdots+n^2$

Pour $n=0$, on a : $\left\lbrace\begin{matrix} \displaystyle\sum_{k=0}^{0}k^2 =0^2 = 0 \\ \\ \dfrac{0\times(0+1)(2\times 0+1)}{6}=0\end{matrix}\right.$

Donc : $\displaystyle\sum_{k=0}^{0}k^2=\dfrac{0\times(0+1)(2\times 0+1)}{6}=0$ et $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité : Soit $p$ un entier de $\mathbb{N}$, supposons que $\mathcal{P}(p)$ est vraie et montrons que $\mathcal{P}(p+1)$ est vraie.

Hypothèse : $\mathcal{P}(p) :\displaystyle\sum_{k=0}^{p}k^2=\dfrac{p(p+1)(2p+1)}{6}$

Résultat à prouver : $\mathcal{P}(p+1) :\displaystyle\sum_{k=0}^{p+1}k^2=\dfrac{(p+1)(p+2)(2p+3)}{6}$

On a :

Or, on a : $(p+2)(2p+3)=2p^2+3p+4p+6=2p^2+7p+6$ Donc : $\displaystyle\sum_{k=0}^{p+1}k^2=\dfrac{(p+1)(2p^2+7p+6)}{6}=\dfrac{(p+1)(p+2)(2p+3)}{6}$ Cela veut dire que $\mathcal{P}(p+1)$ est vraie. On conclut par récurrence que :

Merci à Panter pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche