Apprendre à utiliser des symboles importants dans le raisonnement par récurrence

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Cette leçon présente des démonstrations utilisant les symboles somme (Σ) et produit (Π), des outils essentiels pour simplifier les calculs d'additions et de multiplications successives. Le raisonnement par récurrence est également abordé à travers des exemples de suites numériques et d'égalité pour montrer la validité de certaines propriétés. Les mots-clés pour cette leçon sont : récurrence, somme, produit, suites numériques, démonstration, équation.

Les symboles somme \sum et produit \prod

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I- Symbole \sum

Le symbole mathématique \sum permet d'exprimer plus simplement des sommes et donc des expressions mathématiques.

Par exemple, la somme 0+1++100+1+\cdots +10 peut s'écrire :
0+1++10=k=010k0+1+⋯+10=\displaystyle\sum_{k=0}^{10}​k
Ce terme se lit "somme pour kk allant de 0 à 10 de kk".
Cela signifie que l'on fait prendre au nombre kk toutes les valeurs entières entre 0 et 10 et qu'on fait la somme des nombres kk :

On met la première valeur entière en bas du symbole, dans notre cas c'est 0.

On met la dernière valeur entière en haut du symbole, ici c'est 10.

La lettre kk est muette, elle ne sert qu'à compter et n'intervient pas dans le résultat final. On peut la remplacer par n'importe quelle autre variable i,j,i, j, \cdots (on évite l'utilisation des lettres déjà utilisées dans l'exercice) :

k=010k=i=010i=j=010j\displaystyle\sum_{k=0}^{10}​k=\displaystyle\sum_{i=0}^{10}​i=\displaystyle\sum_{j=0}^{10}​j

Prenons la somme du premier exemple du paragraphe précédent. On pouvait écrire :

k=0nk=0+1+2++n\displaystyle \sum_{k=0}^{n}k =0+1+2+\cdots+n

k=0n+1k=0+1+2++n+(n+1)\displaystyle \sum_{k=0}^{n+1}k =0+1+2+\cdots+n+(n+1)

Autres exemples :

k=131k=11+12+13=6+3+26=116\displaystyle \sum_{k=1}^{3}\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{6+3+2}{6}=\dfrac{11}{6}

p=0n2p=(2×0)+(2×1)+(2×2)+(2×3)++[2×(n1)]+(2×n)=0+2+4+6+8+2n\displaystyle \sum_{p=0}^{n}2p =(2\times 0)+(2\times 1)+(2\times 2)+(2\times3)+\cdots+[2\times(n-1)]+(2\times n) = 0+2+4+6+8+\cdots 2n

j=0n2j+1=(2×0+1)+(2×1+1)+(2×2+1)+(2×3+1)++[2×(n1)+1]+(2×n+1)=1+3+5+7+2n+1\displaystyle \sum_{j=0}^{n}2j+1 =(2\times 0+1)+(2\times 1+1)+(2\times 2+1)+(2\times 3+1)+\cdots+[2\times(n-1)+1]+(2\times n+1) = 1+3+5+7+\cdots 2n+1

Remarque : Dans l'exemple 1, on ne pouvait pas débuter par k=0k=0 car le dénominateur ne peut pas être nul.

II- Symbole \prod

Comme son homologue \sum pour les sommes, le symbole mathématique \prod permet d'exprimer plus simplement des produits. Par exemple, le produit 1×2××101\times2\times\cdots \times10 peut s'écrire :
1×2×10=k=110k1\times 2\times\cdots 10=\displaystyle\prod_{k=1}^{10}k

Exemples :

k=04(2k+1)=1×3×5×7×9=945\displaystyle\prod_{k=0}^4 (2k+1)=1\times3\times5\times7\times9=945

k=2nk2=4×9××n2\displaystyle\prod_{k=2}^n k^2=4\times 9\times \cdots\times n^2

Remarquer que le produit présenté précédemment : k=110k=1××10=10!\displaystyle \prod_{k=1}^{10} \color{black}k=1\times\cdots \times10=10!

III- Exercice d'application

Énoncé : Montrer que :

nN : k=0nk2=n(n+1)(2n+1)6\forall n\in\mathbb{N}\text{ : } \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Solution :

Montrons par récurrence que nN : k=0nk2=n(n+1)(2n+1)6\forall n\in\mathbb{N}\text{ : } \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.


Notons P(n) : k=0nk2=n(n+1)(2n+1)6\mathcal{P}(n)\text{ : } \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
Il est conseillé d'écrire les termes avec sigma sous forme d'addition : k=0nk2=02+12+22++n2\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^2=0^2+1^2+2^2+\cdots+n^2

Initialisation :

Pour n=0n=0, on a : {k=00k2=02=00×(0+1)(2×0+1)6=0\left\lbrace\begin{matrix} \displaystyle\sum_{k=0}^{0}k^2 =0^2 = 0 \\ \\ \dfrac{0\times(0+1)(2\times 0+1)}{6}=0\end{matrix}\right.


Donc : k=00k2=0×(0+1)(2×0+1)6=0\displaystyle\sum_{k=0}^{0}k^2=\dfrac{0\times(0+1)(2\times 0+1)}{6}=0 et P(0)\mathcal{P}(0) est vraie.

Hérédité : Soit pp un entier de N\mathbb{N}, supposons que P(p)\mathcal{P}(p) est vraie et montrons que P(p+1)\mathcal{P}(p+1) est vraie.

Hypothèse : P(p):k=0pk2=p(p+1)(2p+1)6\mathcal{P}(p) :\displaystyle\sum_{k=0}^{p}k^2=\dfrac{p(p+1)(2p+1)}{6}

Résultat à prouver : P(p+1):k=0p+1k2=(p+1)(p+2)(2p+3)6\mathcal{P}(p+1) :\displaystyle\sum_{k=0}^{p+1}k^2=\dfrac{(p+1)(p+2)(2p+3)}{6}

On a :

k=0p+1k2=02+12++p2+(p+1)2\displaystyle\sum_{k=0}^{p+1}k^2= 0^2+1^2+\cdots+p^2+(p+1)^2

=(k=0pk2)+(p+1)2=\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{p}k^2\right)+(p+1)^2

=p(p+1)(2p+1)6+(p+1)2=p(p+1)(2p+1)+6(p+1)26=\dfrac{p(p+1)(2p+1)}{6} + (p+1)^2 \\ = \dfrac{p(p+1)(2p+1)+6(p+1)^2}{6}

=(p+1)[p(2p+1)+6(p+1)]6=\dfrac{(p+1)[p(2p+1)+6(p+1)]}{6}

=(p+1)(2p2+7p+6)6=\dfrac{(p+1)(2p^2+7p+6)}{6}

Or, on a : (p+2)(2p+3)=2p2+3p+4p+6=2p2+7p+6(p+2)(2p+3)=2p^2+3p+4p+6=2p^2+7p+6 Donc : k=0p+1k2=(p+1)(2p2+7p+6)6=(p+1)(p+2)(2p+3)6\displaystyle\sum_{k=0}^{p+1}k^2=\dfrac{(p+1)(2p^2+7p+6)}{6}=\dfrac{(p+1)(p+2)(2p+3)}{6}

Cela veut dire que P(p+1)\mathcal{P}(p+1) est vraie.

On conclut par récurrence que :

nN : k=0nk2=n(n+1)(2n+1)6\boxed{\forall n\in\mathbb{N}\text{ : } \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}

Merci à Panter pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche