Apprendre à utiliser des symboles importants dans le raisonnement par récurrence
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Cette leçon présente des démonstrations utilisant les symboles somme (Σ) et produit (Π), des outils essentiels pour simplifier les calculs d'additions et de multiplications successives. Le raisonnement par récurrence est également abordé à travers des exemples de suites numériques et d'égalité pour montrer la validité de certaines propriétés.
Les mots-clés pour cette leçon sont : récurrence, somme, produit, suites numériques, démonstration, équation.
Les symboles somme ∑ et produit ∏
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I- Symbole ∑
Le symbole mathématique ∑ permet d'exprimer plus simplement des sommes et donc des expressions mathématiques.
Par exemple, la somme 0+1+⋯+10 peut s'écrire : 0+1+⋯+10=k=0∑10k Ce terme se lit "somme pour k allant de 0 à 10 de k". Cela signifie que l'on fait prendre au nombre ktoutes les valeurs entières entre 0 et 10 et qu'on fait la somme des nombres k :
On met la première valeur entière en bas du symbole, dans notre cas c'est 0.
On met la dernière valeur entière en haut du symbole, ici c'est 10.
La lettre k est muette, elle ne sert qu'à compter et n'intervient pas dans le résultat final. On peut la remplacer par n'importe quelle autre variable i,j,⋯ (on évite l'utilisation des lettres déjà utilisées dans l'exercice) :
k=0∑10k=i=0∑10i=j=0∑10j
Prenons la somme du premier exemple du paragraphe précédent. On pouvait écrire :
Remarque : Dans l'exemple 1, on ne pouvait pas débuter par k=0 car le dénominateur ne peut pas être nul.
II- Symbole ∏
Comme son homologue ∑ pour les sommes, le symbole mathématique ∏ permet d'exprimer plus simplement des produits. Par exemple, le produit 1×2×⋯×10 peut s'écrire : 1×2×⋯10=k=1∏10k
Exemples :
k=0∏4(2k+1)=1×3×5×7×9=945
k=2∏nk2=4×9×⋯×n2
Remarquer que le produit présenté précédemment : k=1∏10k=1×⋯×10=10!
III- Exercice d'application
Énoncé : Montrer que :
∀n∈N : k=0∑nk2=6n(n+1)(2n+1)
Solution :
Montrons par récurrence que ∀n∈N : k=0∑nk2=6n(n+1)(2n+1).
Notons P(n) : k=0∑nk2=6n(n+1)(2n+1) Il est conseillé d'écrire les termes avec sigma sous forme d'addition : k=0∑nk2=02+12+22+⋯+n2
Initialisation :
Pour n=0, on a : ⎩⎨⎧k=0∑0k2=02=060×(0+1)(2×0+1)=0
Donc : k=0∑0k2=60×(0+1)(2×0+1)=0 et P(0) est vraie.
Hérédité : Soit p un entier de N, supposons que P(p) est vraie et montrons que P(p+1) est vraie.
Hypothèse :P(p):k=0∑pk2=6p(p+1)(2p+1)
Résultat à prouver :P(p+1):k=0∑p+1k2=6(p+1)(p+2)(2p+3)
On a :
k=0∑p+1k2=02+12+⋯+p2+(p+1)2
=(k=0∑pk2)+(p+1)2
=6p(p+1)(2p+1)+(p+1)2=6p(p+1)(2p+1)+6(p+1)2
=6(p+1)[p(2p+1)+6(p+1)]
=6(p+1)(2p2+7p+6)
Or, on a : (p+2)(2p+3)=2p2+3p+4p+6=2p2+7p+6 Donc : k=0∑p+1k2=6(p+1)(2p2+7p+6)=6(p+1)(p+2)(2p+3)
Cela veut dire que P(p+1) est vraie.
On conclut par récurrence que :
∀n∈N : k=0∑nk2=6n(n+1)(2n+1)
Merci à Panter pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche