Utiliser des diviseurs pour trouver des fractions irréductibles

I. Définition : fraction irréductible

On dit qu’une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont pas de diviseur commun autre que 1.

II. Des exemples

Exemple 1 :

Au cours d'un problème, une résolution d'équation m'a permis de trouver que l'inconnue $x$ cherchée était égale à : $x=\dfrac{124}{21}\times \dfrac{14}{62}$

Je sais que pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Donc $x=\dfrac{124\times 14}{21\times 62}=\dfrac{1736}{1302}$ ...pas fort joli ce résultat !

Choisissons une autre stratégie.

Décomposons $124\;; 21\;; 14 \text{ et } 62$ en produit de facteurs premiers.

$124=2^2\times 31$ ; $21=3\times 7$ ; $14=2\times 7$ ; $62=2\times 31$

alors :
$x=\dfrac{124\times 14}{21\times 62}=\dfrac{2^2\times 31\times 2\times 7}{3\times 7\times 2\times 31}$

$x=\dfrac{2^2\times {\cancel{31}}\times {\cancel{2}}\times {\cancel{7}}}{3\times {\cancel{7}}\times {\cancel{2}}\times {\cancel{31}}}=\dfrac{2^2}{3}=\dfrac{4}{3}$

Cette fraction $\dfrac 43$ est bien irréductible.

Exemple 2 :

Soit à calculer $F=\left(\dfrac{5}{14} - \dfrac{-2}{7}\right) \times \dfrac{21}{20}$ . Le résultat sera donné sous forme irréductible.

$F = \left(\dfrac{5}{14} - \dfrac{-2}{7}\right) \times \dfrac{21}{20}$

${\phantom{F}}=\left(\dfrac{5}{14} +\dfrac{2\times 2}{7\times 2}\right)\times \dfrac{21}{20}$ ${\phantom{F}}= \dfrac{9}{14} \times \dfrac{21}{20}$

${\phantom{F}}= \dfrac{9\times 3\times 7 }{2\times 7\times 20}$

${\phantom{F}}= \dfrac{9\times 3 }{2 \times 20}$

${\phantom{F}}=\dfrac{27}{40}$

Cette fraction est bien irréductible.

On peut simplifier une fraction sans systématiquement tout décomposer en produit de facteurs premiers, on ne le fait que si cela est utile.