Triangles - Mathématiques - Seconde

I) Les points clés

1) Hauteur relative à un côté d'un triangle

La hauteur relative à un côté d'un triangle est la droite perpendiculaire à ce côté et passant par le sommet opposé.

Exemple : La droite d₁ est la hauteur relative au côté [BC] du triangle ABC. On dit aussi que la droite d₁ est la hauteur issue du sommet A du triangle ABC.

Propriété : Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.

Exemple : Les trois hauteurs du triangle ABC ci-contre se coupent en même point O.

2) Triangles particuliers et propriétés des angles

Triangle rectangle

Si un triangle est rectangle, alors ses deux angles aigus sont complémentaires.

Triangle isocèle

Si un triangle est isocèle, alors ses deux angles à la base sont égaux.

Triangle équilatéral

Si un triangle est équilatéral, alors ses trois angles sont égaux et mesurent chacun 60°.

Mots-clés

• Sommet principal d'un triangle isocèle : Le sommet principal est celui où se croisent les deux côtés de même longueur.
• Base d'un triangle isocèle : Le côté opposé au sommet principal est la base du triangle isocèle.
• Droites concourantes : Lorsque plusieurs droites (plus de deux) se coupent en un point A, on dit que ces droites sont concourantes en A.

II) Démontrer l'existence d'un triangle isocèle

Pour démontrer l'existence d'un triangle isocèle, je peux utiliser l'une des propriétés suivantes :

• Si un triangle a deux côtés de même longueur, alors c'est un triangle isocèle.
• Si un triangle a deux angles égaux, alors c'est un triangle isocèle.

Exemple : ABC est un triangle tel que $\widehat{ABC} = 67°$ et $\widehat{ACB} = 46°$.

Pour démontrer que le triangle ABC est isocèle :

1. Je calcule l'angle $\widehat{BAC}$ à l'aide de la propriété de la somme des angles d'un triangle.

$\widehat{ABC} + \widehat {ACB} = 67° + 46° = 113°$. Donc : $\widehat{BAC} = 180° - 113° = 67°$

2. J'utilise la seconde propriété : comme $\widehat{ABC} = \widehat {BAC}$, Je conclus que le triangle ABC est isocèle en C.