Lorsque l’on définit une translation, on définit nécessairement un vecteur. Un vecteur symbolise donc un mouvement rectiligne d’un point à un autre.
I Translations
Une translation est un procédé qui déplace un point en un autre point selon une règle imposée par deux points fixes.
Repère
À noterLa translation deA vers B est différente de la translation deB versA.
Si on appelle A et B ces deux points fixes, la translation de A vers B transforme un point M en un point M′ de telle sorte que les segments [AM′] et [BM] aient le même milieu, autrement dit que le quadrilatère ABM′M soit un parallélogramme. M′ s’appelle le translaté de M.
Exemple : Sur la figure, on a placé les points M, N, P et Q ainsi que leurs translatés par la translation de A vers B.
II Vecteurs
Un vecteur symbolise une translation. Il est caractérisé par trois facteurs :
• sa direction (par exemple, horizontale ou verticale) ;
• son sens (par exemple, de gauche à droite ou de bas en haut) ;
Repère
À noterLa norme de se note .
• sa longueur (par exemple, 5 carreaux ou 4,2 cm) qu’on appelle aussi sa norme.
On note le vecteur nul : .
En mathématiques, une direction est définie par une droite 𝒟. Toutes les droites parallèles à 𝒟 ont la même direction que 𝒟.
Lorsqu’on trace une droite, on peut la parcourir dans les deux sens : de gauche à droite ou de droite à gauche (ou encore de bas en haut ou de haut en bas).
Exemple : Si on place deux points distincts A et B sur une droite, on définit deux vecteurs de sens contraires et .
Méthode1 Déterminer des points et des vecteurs liés à des translations
On considère un triangle ABC, et I, J, K les milieux respectifs des côtés [AB], [AC] et [BC]. Compléter le tableau suivant.
Repère
L’image de
par la translation de vecteur
est
I
….
….
K
J
….
C
….
A
ConseilsD’après la réciproque du théorème de Thalès : (JI) // (CB) et (KI) // (CA).
solutionDe haut en bas : J ; B ; ; B.
2 Reconnaître une translation
Les frères Térieur se disputent à propos de la figure ci-contre.
Alain : « J’ai construit la ligne bleue en transformant la ligne rouge par une translation. »
Alex : « Ce n’est pas possible ! La largeur qui les sépare n’est pas constante ! »
Qui a raison : Alain ou Alex ?
conseilsChoisissez deux points sur l’une des figures et observez les positions des deux points correspondants sur l’autre figure.
solutionC’est Alain qui a raison : les quatre vecteurs égaux représentés sur la figure ci-contre définissent la translation.
