Théorème de Bernoulli

Cette fiche est la suite du cours sur la statique des fluides et aborde le sujet suivant : le théorème de Bernoulli.

On suppose dans toute la suite que le référentiel d'étude est galiléen.

I. Énoncé du théorème

• Dans l'hypothèse du fluide parfait, en l'absence de tout frottement (visqueux ou autre), l'énergie mécanique d'une particule fluide est constante le long de sa ligne de courant. En prenant en compte son énergie cinétique, son énergie potentielle de pesanteur et le travail des forces de pression, Bernoulli a démontré le théorème suivant :

• Théorème de Bernoulli :

  $\circ\quad$ Lors de l'écoulement permanent d'un fluide parfait incompressible, la quantité suivante se conserve en tout point M d'une même ligne du courant (voir figure ci-dessous) :

  $\boxed{\displaystyle {\dfrac{v^{2}}{2}} + g \cdot h + {\dfrac{p}{\rho }} = \mathrm {constante}}$

  où :

  $\circ\quad$ $p$ est la pression du point $M$ considéré (en $Pa$) ;

  $\circ\quad$ $\rho$ est la masse volumique du fluide (en $kg/m^3$) ;

  $\circ\quad$ $v$ est la vitesse du fluide en $M$ (en $m/s$) ;

  $\circ\quad$ $g$ est l'accélération de la pesanteur (en $N/kg$ ou $m/s^2$) ;

  $\circ\quad$ $h$ est la hauteur du point $M$ (en $m$).

• $\textcolor{red}{\text{Attention !}}$ Le théorème ne s'applique pas si l'écoulement se fait avec échange de travail autre que celui de la pesanteur et des forces de pression (par exemple en présence d'une pompe, d'une turbine ou d'une hélice).

• Exemple :

  Sur la figure ci-dessus, on peut appliquer le théorème de Bernoulli sur la ligne de courant reliant A et B. On obtient alors :

  $\boxed{\displaystyle {\dfrac{v_1^{2}}{2}} + g \cdot h_1 + {\dfrac{p_1}{\rho }} = \displaystyle {\dfrac{v_2^{2}}{2}} + g \cdot h_2 + {\dfrac {p_2}{\rho }}}$

• Remarques :

  $\circ\quad$ D'une manière générale, la conservation du débit volumique permet de calculer les vitesses d'écoulement en différents points et le théorème de Bernoulli fournit ensuite une relation simple entre les pressions.

  $\circ\quad$ Lorsque l'écoulement est horizontal, les lignes de courant ont une altitude constante et la relation se simplifie (puisque $h_1 = h_2$) :

  $\boxed{\displaystyle {\dfrac {v_1^{2}}{2}}+{\dfrac {p_1}{\rho }} = \displaystyle {\dfrac {v_2^{2}}{2}}+{\dfrac {p_2}{\rho }}}$

II. Application : l'effet Venturi

• Considérons un tuyau horizontal de section variable dans lequel circule de l'eau :

• On supposera que l'écoulement est permanent et on assimilera l'eau à un fluide parfait incompressible.

• Nous avons déjà vu que la conservation du débit $D_V$ permettait d'écrire les relations :

  $\boxed{D_V = v_1 \cdot S_1 = v_2 \cdot S_2}$

• On en déduit que :

  $\boxed{v_2 = \dfrac{v_1 \cdot S_1}{S_2}}$

• D'autre part, le théorème de Bernoulli appliqué à une ligne de courant partant de $S_1$ et arrivant sur $S_2$ nous permet d'écrire :

  $\boxed{\displaystyle {\dfrac {v_1^{2}}{2}}+{\dfrac{p_1}{\rho }} = \displaystyle {\dfrac{v_2^{2}}{2}}+{\dfrac{p_2}{\rho }}}$

  (en appelant $p_1$ la pression dans la section $S_1$, et $p_2$ la pression dans la section $S_2$)

  donc

  $\boxed{\displaystyle { p_2 = p_1 + \rho \cdot \dfrac {v_1^{2} - v_2^{2}}{2}}}$

  et comme $\boxed{v_2 = \dfrac{v_1 \cdot S_1}{S_2}}$, on trouve finalement :

  $\boxed{\displaystyle { p_2 = p_1 + \rho \cdot \dfrac {v_1^{2}}{2} \big(\;1 - (\dfrac {S_1}{S_2})^2\;\big) }}$

• On en déduit l'effet Venturi.

• Effet Venturi :

  Lors de l'écoulement horizontal permanent d'un fluide parfait incompressible :

  $\circ\quad$ Si la section diminue, la vitesse augmente et la pression diminue.

  $\circ\quad$ Si la section augmente, la vitesse diminue et la pression augmente.

• En effet, si $S_2 \lt S_1$ alors $\dfrac{S_1}{S_2} \gt 1$ et on obtient :

  $\circ\quad$ $\boxed{v_2 = \dfrac{v_1 \cdot S_1}{S_2} \gt v_1}$

  $\circ\quad$ $\boxed{\displaystyle {p_2 = p_1 + \rho \cdot \dfrac {v_1^{2}}{2} (\;1 - (\dfrac{S_1}{S_2})^2\;) }} \lt p_1$ (car le terme ajouté à $p_1$ est négatif)

III. Cas des fluides réels

• Le modèle du fluide parfait incompressible n'est qu'une approximation du comportement des fluides : il ne permet que de traiter certains problèmes simples ou encore d'obtenir rapidement un ordre de grandeur du résultat.

• Lors de l'écoulement d'un fluide réel, des phénomènes dissipatifs apparaissent :

  $\circ\quad$ La vitesse du fluide n'est pas uniforme dans une section droite : elle diminue près de la paroi (elle est même nulle au contact de la paroi). Ce phénomène dû à la viscosité diminue le débit volumique.

  $\circ\quad$ Il n'est pas possible de négliger les pertes d'énergie mécanique car des frottements se produisent à cause des "accidents" de canalisation, c'est-à-dire des modifications géométriques de la conduite (coudes, raccords, variations de section, présence d'un robinet, etc.). Il en résulte une diminution de la pression interne du fluide au fur et à mesure qu'il s'écoule.

_{= Merci à krinn pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}