Les suites numériques : généralités

Il ne faut surtout pas craindre cette expression de « suite numérique ». Numérique a pour racine le mot « nombre » tout simplement. Une suite numérique signifie tout simplement que l'on a des nombres qui se suivent. 

Exemple : $-3~;~+4~;~-\sqrt 3~;~15~;~12,3~; \dots$ est une suite numérique.

Dans cet exemple, on dit qu'il y a $5$ termes. Le premier terme est $-3$, le second $+4$ etc.

Si nous comptons les termes, c'est que nous faisons une correspondance entre le fait de compter $1$, $2$, $3$, $4$, etc...et les nombres écrits ci-dessus soit $-3~;~+4~;~-\sqrt 3~;~15~;~12,3~; \dots$.

En 3e et seconde, il a été vu qu'une telle correspondance s'appelle une fonction, et dans le cas présent, celle-ci a pour ensemble de départ les entiers naturels N ($0$ exclu éventuellement) et pour ensemble d'arrivée R.

On pourrait appeler $f$ cette fonction, il est de coutume d'utiliser les lettres $u~,~v~, \text{ ou } w$ et on peut donc écrire : 

$u~:~\textbf{N} \to \textbf R$

${\phantom{u~:~}n\mapsto u(n)}$

Dire que le premier terme est $-3$ va alors s'écrire $u(1)=-3$, le deuxième vaut $+4$ s'écrira $u(2)=+4$ etc.

On dit aussi que le terme de rang 1 vaut $-3$, que le terme de rang 2 vaut $+4$, etc. Et pour simplifier l'écriture, on va enlever les parenthèses autour du rang et écrire le rang en indice, et cela donne :

$u_1=-3$ ; $u_2=+4$ ; $u_3=-\sqrt 3$ ...

Ce vocabulaire et ces notations doivent être compris et connus. 

Conventions d'écriture : 

On écrit la suite $(u)$ ou la suite $(u_n)_{n\in \textbf N*}$ en mettant des parenthèses.

On écrit le terme $u_n$ sans mettre de parenthèses.

Sauf que personne en lisant la succession de nombres proposés ne peut deviner quel serait le nombre suivant. Cette suite est donc assez inintéressante, car totalement imprévisible. 

Certaines suites sont beaucoup plus intéressantes à étudier, parmi elles, sont les suites arithmétiques ou les suites géométriques qui feront l'objet de deux autres leçons.

I. Représentation graphique d'une suite numérique

On a vu qu'une suite n'est rien d'autre qu'une fonction. Celle-ci peut donc être représentée dans un repère du plan. 

Sur cette représentation, $1$ a pour image $-3$, $2$ a pour image $4$, $3$ a pour image $-\sqrt 3$, $4$ a pour image $15$ et $5$ a pour image $12,3$. Ceci est la représentation graphique de la suite numérique proposée dans le préambule.

Bien remarquer que la représentation graphique d'une suite numérique dans un repère est une succession de points.

II. Définir une suite numérique

L'ensemble de départ est toujours $\textbf N$ ou une partie de $\textbf N$.

1) Définir une suite par une formule explicite

Exemple : 

Soit la suite $(u)$ définie sur N par $u_n=3+5n$.

Cette définition permet de calculer n'importe quel terme de la suite.

$u_0=3+5\times 0=3$, $u_1=3+5\times 1=8$, $u_2=3+5\times 2=13$ etc.

puisqu'il suffit de remplacer la lettre $n$ par sa valeur. On peut trouver directement $u_{99}$ qui vaut $3+5\times 99=498$, qui est le 100^e terme de la suite puisqu'on a commencé la suite au rang $0$ et non au rang $1$.

Définition : 

Une suite est définie demanière explicite lorsque $u_n$ est une fonction de $n$.

2) Définir une suite par une formule de récurrence

Si je considère une suite $(v)$ définie sur $\textbf N^*$, les termes se rangent ainsi : 

$v_1~,~v_2~,~v_3~,\dots,~v_{n-2}~,~v_{n-1}~,~\underline{v_n~,~v_{n+1}}~,~v_{n+2}~,~\dots$

On dit que $v_{n+1}$ est le suivant de $v_n$, et que $v_n$ est le précédent de $v_{n+1}$.

Exemple : Soit la suite définie par 

$n\in \textbf N^*~,~v_{n+1}=2\,v_n+3~\text{ et } v_1=2$

Si on remplace la lettre $n$ par $1$, on obtient :

$v_{1+1}=2\,v_1+3$ soit $v_2=2\times 2+3=7$. 

Commaissant $v_1$, on a pu calculer $v_2$.

De même, si je remplace maintenant $n$ par $2$, j'obtiens : 

$v_{2+1}=2\,v_2+3$ soit $v_3=2\times 7+3=17$. Connaissant $v_2$, on a pu calculer $v_3$. Ceci peut être reproduit indéfiniment. On peut calculer un terme à condition de connaître le précédent. On dit qu'on a défini la suite par récurrence. 

Définition

Une suite $(u)$ est dite récurrente lorsque $u_{n+1}$ est fonction de $u_n$.

3) Définir une suite par un algorithme

On a regardé le nombre de personnes intéressées par une page mise en ligne sur internet. La première semaine 150 personnes ont été intéressées, et on a remarqué une augmentation régulière de $8\%$ les semaines suivantes. Le script Python suivant peut être complété afin de générer la suite constituée par le nombre de personnes intéressées.

Une augmentation de $8\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1+\dfrac{8}{100}=1+0,08=1,08$. Le premier terme est 150, et les termes suivants sont obtenus en multipliant chaque terme par le coefficient $1,08$.

L'algorithme va retourner les valeurs $1,08\times 150$ soit $162$ puis $162\times 1,08$ soit $174,96$ ; $174,96\times 1,08$ soit $188,96$ etc. On a généré la suite grâce à un algorithme.

4) Variations d'une suite numérique 

En reprenant cette représentation pour une suite $(u)$

$u_1~,~u_2~,~u_3~,\dots,~u_{n-2}~,~u_{n-1}~,~\underline{u_n~,~u_{n+1}}~,~u_{n+2}~,~\dots$

Définitions : Etudier les variations, c'est dire si la suite est croissante ou décroissante.

On dit que $(u)$ est croissante si pour tout $n$, $u_n\le u_{n+1}$.

On dit que $(u)$ est décroissante si pour tout $n$, $u_n\ge u_{n+1}$.

Si on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes, la suite sera strictement croissante (respectivement strictement décroissante).

Méthode : on peut calculer $u_{n+1}-u_n$ et en étudier le signe.

Point important : Savoir calculer $u_{n+1}$ si on donne $u_n$ dans l'énoncé.

Soit la suite $(u)$ définie sur N par $u_n=3+4n$. Que vaut $u_{n+1}$ ? 

$u_{n+1}$ va s'obtenir en remplaçant la lettre $n$ par le « bloc » $n+1$ ou mieux $(n+1)$ pour éviter les erreurs.

Alors : $u_{n+1}=3+4(n+1)=3+4n+4=7+4n$

Exemple 1 : Soit la suite (v) définie sur N par $v_n=5-2n$. Etudier les variations de cette suite. 

On calcule $v_{n+1}$. $v_{n+1}=5-2(n+1)=5-2n-2=3-2n$

Pour tout $n$, $v_{n+1}-v_n=3-2n-(5-2n)$

${\phantom{Pour tout n, v_{n+1}-v_n}=3-2n-5+2n=8}$

Cette différence est strictement positive. On obtient :

Pour tout $n$ de N, $v_{n+1}-v_n$ > $0$ soit $v_{n+1}$ > $v_n$ et la suite $(v)$ est strictement croissante. 

Exemple 2 : Soit la suite (w) définie sur N par $w_{n+1}=w_n-2$. Etudier les variations de cette suite. 

Pour tout $n$ de N, $w_{n+1}-w_n=(w_n-2)-w_n=-2$, quantité strictement négative. La suite $(w)$ est strictement décroissante.