I. Définition, exemples, sens de variation
Définition
Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante q appelée raison.
On prend q > 0.
Pour tout nombre entier naturel un+1 = qun.
Exemple
On considère la suite géométrique (un) de premier terme u0 = 2 et de raison q = 0,9.
u1 = qu0 ; u1 = 0,9 × 2 ; u1 = 1,8 ;
u2 = qu1 ; u2 = 0,9 × 1,8 ; u2 = 1,62 ;
u3 = qu2 ; u3 = 0,9 × 1,62 ; u3 = 1,458…
Pour démontrer qu’une suite est géométrique, il suffit de vérifier que, pour tout entier n, un+1un est constant. Cette constante est la raison q.
Exemple
La suite de terme général un = 3n, où n est un entier naturel, est une suite géométrique puisque pour tout entier naturel n,
un+1un=3n+13n=3. La raison est 3 et le premier terme est : u0 = 1.
u0 = 30 = 1.
La suite géométrique (un) de raison q est croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1, constante si q = 1.
II. Suite géométrique et moyenne géométrique
Définition
La moyenne géométrique des deux nombres positifs x et y est le nombre xy.
Propriété
Trois nombres positifs a, b, c sont, dans cet ordre, trois termes successifs d’une suite géomérique si et seulement si le nombre du milieu b est la moyenne géométrique des deux autres nombres a et c.
III. Expression du terme un en fonction de n
Théorème
Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 ou u1, et de raison q.
Lorsque le premier terme de la suite est u0 : pour tout entier n de ℕ, un= u0qn.
Lorsque le premier terme de la suite est u1 : pour tout entier n de ℕ*, un= u1qn–1.
Exemples
• La suite (un) est la suite géométrique de premier terme u0 = 500 et de raison q = 1,1.
u4 = u0q4 ; u4 = 500(1,1)4 = 732,05.
• La suite (un) est la suite géométrique de premier terme u1 = 100 et de raison q = 0,8.
u5 = u1q4 ; u5 = 100(0,8)4 = 40,96.
IV. Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique
Théorème
Lorsque le premier terme de la suite est u0 : u0+u1+…+un=u01−qn+11−q, q ≠ 1.
À retenir
Pour une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique commençant par u0, u1, …, on peut retenir que : Somme de termes successifs=Premierterme×1−Raisonnombre de termes1−Raison.
Exemple
La suite géométrique (un) est définie par le premier terme u0 = 1 000 et la raison q = 1,1.
On note S = u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5.
S=u0×1−(1,1)61−1,1 ; S = 7 715,61.
De u0 à u5, il y a six termes.
V. Augmentation ou diminution de x % par heure, par mois, par an…
Chaque fois qu’on est confronté à une situation du type « une population, un prix, une concentration… augmente de x % par an, par mois, par heure… », on peut définir une suite géométrique de raison 1+x100.
S’il s’agit d’une diminution de x %, on peut définir une suite géométrique de raison 1−x100.