I. Définition, sens de variation et représentation graphique
Définition
Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant r appelé raison.Pour tout nombre entier naturel n, un+1 = un + r.
Exemple
1° La suite (un) des nombres entiers naturels pairs est une suite arithmétique de premier terme u0 = 0 de raison r = 2 : pour tout entier naturel n, un+1 = un + 2.2° Soit (vn) la suite arithmétique de premier terme v0 = 2 et de raison r = – 1 ;
v1 = v0 + r ; v1 = 2 – 1 ; v1 = 1. v2 = v1 + r ; v2 = 1 – 1 ; v2 = 0. v3 = v2 + r ; v3 = – 1.
Une suite arithmétique de raison r est :
croissante, si r > 0 ; décroissante, si r < 0 ; constante si r = 0.
La représentation graphique d’une suite arithmétique (un) dans un repère du plan est constituée de points alignés de coordonnées (n, un) alignés sur la droite d’équation y = rx + u0.
II. Suite arithmétique et moyenne arithmétique
Définition
La moyenne arithmétique des deux nombres x et y est le nombre x+y2.
Exemple
La moyenne arithmétique de 10 et 13 est 11,5.
Propriété
Trois nombres a, b, c sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite arithmétique si et seulement si le nombre du milieu b est la moyenne arithmétique des deux autres nombres a et c.
III. Expression du terme un en fonction de n
Pour une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r :
un = u0 + nr, pour tout entier naturel n.
Pour une suite arithmétique de premier terme u1 et de raison r :
un = u1 + (n – 1)r, pour tout entier naturel n.
Exemple
La suite (un) est la suite arithmétique de premier terme u0 = 3 et de raison r = 2.
u10 = u0 + 10 × r. u10 = 3 + 20 = 23.
IV. Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique
Pour une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r :
u0+u1+…+un=n+1u0+un2 pour tout entier naturel n.
Pour une suite arithmétique de premier terme u1 et de raison r :
u1+…+un=nu1+un2 pour tout entier n de ℕ*.
ℕ* est l’ensemble des nombres entiers naturels strictement positifs.
À retenir
Pour une somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique commençant par u0, u1, …, on peut retenir que :
Somme de termes successifs=Nombre de termes×Premierterme+Dernierterme2.
Exemple
La suite arithmétique (un) est définie par le premier terme u0 = 500 et la raison r = 25.
On note S = u0 + u1 + … + u9. u9 = u0 + 9 × r ; u9 = 500 + 225 ; u9 = 725.S=10×u0+u92 ; S=10×500+7252; S=6 125.De u0 à u9, il y a 10 termes.