Statistiques : ce que l'on a appris depuis la 6e (moyenne, moyenne pondérée et médiane)

I. Moyenne

$\text{Moyenne (simple)} = \dfrac{\text{somme des valeurs de la série}}{\text{effectif de la série}}$

Exemple :
Au cours des 10 premières journées du championnat de football, le club de Greg a gagné 4 matches, fait 3 matches nuls et essuyé 3 défaites.
On calcule la moyenne du nombre de points par match du club.
L'effectif est 10 (10 matches ont été joués).

La somme des points est 4 × 3 points (les victoires) plus 3 × 1 point (les nuls) plus 0 (les défaites), soit 12 + 3 + 0 = 15 points.

La moyenne est donc $\dfrac{15}{10}$ = 1,5 point.

Le club de Greg a obtenu en moyenne 1,5 point par match dans le début de championnat.

II. Moyenne pondérée

$1.$ Pondération par des coefficients

Pondéré est l'adjectif issu du nom poids : dans une série de données, on peut attribuer un coefficient à chaque valeur. Plus le coefficient est grand, plus la donnée a de poids.
La moyenne pondérée est le quotient de la somme des produits de chaque valeur et de son coefficient, divisé par la somme des coefficients.

Exemple 1 (les notes d'un groupe d'élèves) :
Voici les notes données à un groupe de 15 élèves.

La moyenne de cette série est la somme de tous les produits divisée par l'effectif total :

$\dfrac{99}{15} = 6.6$

La moyenne des notes est égale à 6,6.

$2.$ Pondération par l'effectif

Dans une série statistique regroupée en classes de valeurs, la moyenne d'une donnée numérique est la somme des produits des valeurs par l'effectif de la classe correspondante, divisée par l'effectif total.

Exemple :
Un marchand de tableaux travaille avec 12 peintres. 3 d'entre eux peignent 2 tableaux par an, 2 en peignent 3, 1 en peint 4, 4 en peignent 5, 1 en peint 10 et le dernier, très prolixe, en peint 20.

Ceci donne le tableau statistique suivant :

La moyenne du nombre de tableaux par artiste est la moyenne pondérée :

$\dfrac{3 \times 2 + 2 \times 3 + 1 \times 4 + 4 \times 5 + 1 \times 10 + 1 \times 20}{3+2+1+4+1+1} = \dfrac{66}{12} = 5,5$

Les peintres peignent en moyenne 5,5 tableaux par an.

Remarque : Pour calculer la moyenne d'une série regroupée en classes d'intervalles, on détermine le centre de chaque classe, puis on calcule la moyenne pondérée en s'aidant de ces centres.

La moyenne est égale à :

$\dfrac{7,5 \times 5 + 22,5 \times 6 + 37,5 \times 2}{5 + 6 + 2} = \dfrac{247,5}{13} \approx 19$

III. Médiane

Définition :

Avant de vouloir déterminer une médiane, la série doit absolument être ordonnée.
La médiane est le nombre se trouvant au "milieu" de la série, c'est-à-dire qu'il y a autant d'effectif à droite de ce nombre qu'à gauche.

Pour l'exemple 1 (les notes d'un groupe d'élèves) :

Pour l'exemple 2 (la série en classe d'intervalles) :
Il y a un effectif total de 13. Donc la médiane correspond à la 7ᵉ valeur, elle se trouve dans la classe [15 ; 30[.

Remarques :

$\circ\quad$ Remarque 1 : La médiane peut être illustrée par une ligne de partage.

$\circ\quad$ Ici, l'effectif total de la série (15) est impair, mais dans certains cas, cet effectif est pair. Dans ce cas, on peut prendre pour médiane la moyenne des deux nombres se situant autour de la "ligne de partage".