I. Équation x2=a avec a<0
Exemple 1 : Soit à résoudre l'équation x2=−3.
On sait qu'un carré ne peut pas être négatif, donc cette équation n'admet pas de solution. On dit que son ensemble solution est vide.
Si j'appelle S son ensemble solution, on écrit que S=∅ avec ∅ un symbole qui signifie le vide.
II. Équation x2=a avec a≥0
Exemple 2 : Soit à résoudre l'équation x2=4.
Quels sont les nombres x dont le carré est égal à 4 ? On sait que 22=4 mais aussi que (−2)2=4. Donc a priori, nous trouvons deux solutions à cette équation, solutions qui seraient les nombres −2 et 2.
Comment rédiger la recherche de solution sans erreur ?
L'équation x2=4 peut s'écrire x2−4=0 en retranchant 4 aux deux membres.
Mais : x2−4 est la différence de deux carrés et est donc du type a2−b2 dont on connait une factorisation.
x2−4=(x−2)(x+2)
Revenons à l'équation proposée.
x2=4 on retranche 4 aux deux membres
x2−4=0 je reconnais une identitˊe remarquable et je factorise
(x−2)(x+2)=0 j’obtiens un produit de facteurs nul
Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul soit x−2=0 ou x+2=0
On obtient x=+2 ou x=−2
Conclusion : l'équation x2=4 admet pour solution les nombres −2 et +2.
On écrit que S={−2 ;+2} et cela se lit : l'ensemble solution S est égal à l'ensemble des deux nombres −2 et +2.
Exemple 3 : Soit à résoudre l'équation x2=17
x2=17 équivaut à dire x2−17=0 équivaut à dire (x−√17)(x+√17)=0 car on sait que (√17)2=17 .
Ce produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul soit : x−√17=0 ou x+√17=0 ce qui donne pour solutions : x=√17 ou x=−√17
et S={−√17 ;√17}
Exemple 4 : Soit à résoudre l'équation 2x2=34
Divisons par 2 les deux membres de l'égalité. On obtient : x2=17, équation que l'on a su résoudre dans l'exemple 3.