Représentation graphique d'un nombre complexe : l'affixe

L'interprétation géométrique des nombres complexes va permettre de donner de nouvelles formes d'écriture.

I-L' affixe

Dans tout ce qui suit, le plan est rapporté à un repère orthonormé $(0\;; \vec u \;,\vec v)$

Réciproquement :

$\circ\quad$ À tout point $M(a, b)$ avec $a$ et $b$ deux réels, on peut associer l’unique nombre complexe $z = a + \mathcal{i}b$. Ce nombre $z$ est appelé affixe du point $M$.

$\circ\quad$ À tout vecteur $\overrightarrow{w} \begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix}$ avec $a$ et $b$ deux réels, on peut associer l’unique nombre complexe $z = a + \mathcal{i}b$. Ce nombre $z$ est appelé affixe du vecteur $\overrightarrow{w}$.

Remarques :

$\circ\quad$ Lorsqu’un point ou un vecteur est repéré par son affixe, le plan est appelé le plan complexe.

$\circ\quad$ Les nombres réels sont représentés sur l’axe des abscisses, appelé aussi axe des réels.

$\circ\quad$ Les nombres imaginaires purs sont représentés sur l’axe des ordonnées, appelé aussi axe des imaginaires purs.

Notations :

$\circ\quad$ L’affixe d’un point $M$ est souvent notée $z_M$, et la donnée d’un point $M$ d’affixe $z_M$ est souvent notée $M(z_M)$.

$\circ\quad$ L’affixe d’un vecteur $\overrightarrow{w}$ est souvent notée $z_{\overrightarrow{w}}$, et la donnée d’un vecteur $\overrightarrow{w}$ est souvent notée $\overrightarrow{w}(z_{\overrightarrow{w}})$.

Exemples :

$\circ\quad$ Si $A(1,2)$, alors $z_A = 1 + 2\mathcal{i}$.

$\circ\quad$ Si $z_{\overrightarrow{w}} = 2 - 3\mathcal{i}$, alors $\overrightarrow{w} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$.

II. Points confondus ou égalité de vecteurs

Théorème 1 : Soit $A(z_A)$ et $B(z_B)$ deux points du plan complexe.

$\circ\quad$ Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B - z_A$.

$\circ\quad$ Le milieu du segment $[AB]$ a pour affixe $\dfrac{z_A + z_B}{2}$.

Exemple :

Soit $A(3 + 2\mathcal{i})$ et $B(5 - \mathcal{i})$.

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe :
$z_{AB} = 5 - \mathcal{i} - (3 + 2\mathcal{i})= 2 - 3\mathcal{i}$.

Théorème 2 : Soient $\overrightarrow{w_1}(z_1)$ et $\overrightarrow{w_2}(z_2)$ deux vecteurs du plan complexe.

$\circ\quad$ Le vecteur $\overrightarrow{w_1} + \overrightarrow{w_2}$ a pour affixe $z_1 + z_2$.

$\circ\quad$ Le vecteur $-\overrightarrow{w_1}$ a pour affixe $-z_1$.

$\circ\quad$ Le vecteur $\overrightarrow{w_1} - \overrightarrow{w_2}$ a pour affixe $z_1 - z_2$.

$\circ\quad$ Soit $\lambda \in \mathbb{R}$, alors le vecteur $\lambda \overrightarrow{w_1}$ a pour affixe $\lambda z_1$.

Propriétés :