Parmi les quadrilatères, les parallélogrammes constituent une catégorie spéciale. Parmi eux, carrés, rectangles et losanges sont des parallélogrammes particuliers.
I Parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Propriétés. Un quadrilatère est un parallélogramme si, et seulement si :
• ses diagonales ont le même milieu ;
• ses côtés opposés ont deux à deux la même longueur ;
• deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur ;
• ses angles opposés ont deux à deux la même ouverture ;
• ses angles consécutifs sont deux à deux supplémentaires ;
• il a un centre de symétrie (le point O sur la figure).
II Parallélogrammes particuliers
Définition | Un quadrilatère est … |
|---|---|
Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur. | … un losange si et seulement si : • c’est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont la même longueur ; • c’est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires. |
Un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont droits. | … un rectangle si et seulement si : • c’est un parallélogramme dont un angle est droit ; • c’est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur. |
Un carré est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur et dont les quatre angles sont droits. | … un carré si et seulement si : • c’est un rectangle dont les diagonales sont perpendiculaires ; • c’est un rectangle dont deux côtés consécutifs ont la même longueur ; • c’est un losange qui a un angle droit ; • c’est un losange dont les diagonales ont la même longueur. |
Méthode
Reconnaître un parallélogramme
a. On considère un quadrilatère quelconque et O l’intersection de ses diagonales. Démontrer que si le quadrilatère est invariant par la symétrie centrale de centre O, alors c’est un parallélogramme.
b. Démontrer que les parallélogrammes ABCD et AECF ci-contre ont le même centre que l’on nommera O.c. Démontrer que le quadrilatère EBFD est invariant pas la symétrie centrale de centre O. Puis en déduire sa nature.
Repère
ConseilSa. Un quadrilatère est invariant par une symétrie centrale si chacun de ses sommets a pour symétrique un autre de ses sommets.
b. Pensez au milieu des diagonales.
c. Utilisez les résultats des questions précédentes.
solution
a. Appelons MNPQ le quadrilatère invariant par la symétrie centrale de centre O, où O est le point d’intersection des diagonales. Par la symétrie de centre O, le point M a pour image P ; donc O est le milieu de [MP]. De même, O est le milieu de [NQ]. Les diagonales [MP] et [NQ] ayant le même milieu, le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.
b. Le centre du parallélogramme ABCD est le milieu de la diagonale [AC] ; on le nomme O. [AC] est également une diagonale du parallélogramme AECF. Son milieu O est donc aussi le centre du parallélogramme AECF, ce qu’il fallait démontrer.
c. Par la symétrie centrale de centre O, E a pour image F (car AECF est un parallélogramme de centre O) et B a pour image D (car ABCD est un parallélogramme de centre O). Il en résulte que le quadrilatère EBFD est invariant par la symétrie centrale de centre O. D’après la question a, c’est donc un parallélogramme.
