Propriétés des arguments

Dans tout ce qui suit, le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(0\;; \vec u \;,\vec v)$

I. Propriétés

Soit $z$ un nombre complexe non nul.

$\circ\quad$ $z \in \mathbb{R}^+ \Leftrightarrow \arg(z) = 0 [2\pi]$.

$\circ\quad$ $z \in \mathcal{i} \mathbb{R}^+ \Leftrightarrow \arg(z) = \dfrac{\pi}{2} [2\pi]$.

$\circ\quad$ $z \in \mathbb{R}^- \Leftrightarrow \arg(z) = \pi [2\pi]$.

$\circ\quad$ $z \in \mathcal{i} \mathbb{R}^- \Leftrightarrow \arg(z) = -\dfrac{\pi}{2} [2\pi]$.

$\circ\quad$ $\arg(-z) = \arg(z) + \pi [2\pi]$.

$\circ\quad$ $\arg(\overline{z}) = -\arg(z) [2\pi]$.

II. Argument et opérations

Propriétés :

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls.

$\circ\quad$ $\arg(z \times z') = \arg(z) + \arg(z') [2\pi]$.

$\circ\quad$ Pour tout entier naturel $n$, $\arg(z^n) = n \times \arg(z) [2\pi]$.

$\circ\quad$ $\arg \left(\dfrac{1}{z} \right) = -\arg(z) [2\pi]$.

$\circ\quad$ $\arg \left(\dfrac{z'}{z} \right) = \arg(z') - \arg(z) [2\pi]$.

III. Argument et angle

Propriété :

Soient $A(z_A), B(z_B), C(z_C)$ et $D(z_D)$ quatre points distincts.

$\circ\quad$ L’angle orienté $(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC})$ est donné par :
$(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}) = \arg \left( \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \right) [2\pi]$.

$\circ\quad$ L’angle orienté $(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD})$ est donné par :
$(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD}) = \arg \left( \dfrac{z_D - z_C}{z_B - z_A} \right) [2\pi]$.