I. Vocabulaire, calcul des probabilités
1) Vocabulaire
Dans une expérience aléatoire, Ω est l’ensemble (ou univers) de tous les résultats (ou issues) possibles.
RemarqueUne expérience est aléatoire lorsque son résultat (ou issue) ne peut être prévu et lorsque, renouvelée dans les mêmes conditions, elle ne donne pas nécessairement le même résultat.
Un événement est une partie de Ω.
Un événement élémentaire est un événement possédant un seul élément.
Deux événements A, B sont disjoints ou incompatibles si et seulement si A ∩ B = ∅.
L’événement contraire d’un événement A est l’événement A¯ constitué des éléments de Ω n’appartenant pas à A.
Exemples
On prélève au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
• L’univers Ω est l’ensemble des 32 cartes.
• Il y a 32 issues possibles.
• « La carte tirée est un valet » est un événement que nous pouvons noter A.
• « La carte tirée est un cœur » est un événement que nous pouvons noter B.
• A ∩ B désigne l’événement : « La carte tirée est un valet et la carte tirée est un cœur » c’est-à-dire : « la carte tirée est le valet de cœur ».
L’événement A ∩ B ≠ ∅, c’est-à-dire l’événement A ∩ B n’est pas « impossible », donc les événements A et B ne sont pas disjoints (ou incompatibles).
• A ∪ B désigne l’événement : « La carte tirée est un valet ou un cœur ». Il y a 11 éléments dans A ∪ B (les 8 cœurs et les 3 valets autres que le valet de cœur).
• L’événement contraire de l’événement A est l’événement :
A¯ : « la carte tirée n’est pas un valet ».
2) Calcul des probabilités
La probabilité d’un événement A d’un univers fini Ω est la somme des probabilités des événements élémentaires qui constituent A. La probabilité de Ω est 1.
Pour tout événement A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
L’équiprobabilité correspond au cas où tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
Dans ce cas, la probabilité d’un événement élémentaire est : 1/(nombre d’éléments de Ω)
et pour tout événement A,
P(A)=(nombre d’éléments de A)/(nombre d’éléments de Ω)=(nombre de cas favorables)/(nombre de cas possibles).
Pour tous événements disjoints A, B, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Pour tout événement A, P(A¯)=1−P(A). En particulier P(Ø) = 0.
Pour tous événements A, B, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
Exemple
Une enquête, concernant l’hygiène alimentaire, a été réalisée sur un échantillon de 800 personnes. Les personnes sont réparties en trois groupes.
Type 1 : les végétariens ; type 2 : les végétariens qui mangent néanmoins du poisson ; type 3 : les non-végétariens. La répartition des personnes est donnée dans le tableau suivant.
On choisit, au hasard, une des 800 personnes de l’échantillon, chacune ayant la même probabilité d’être choisie. On définit les événements suivants :
A : « La personne choisie est non végétarienne » ;
B : « La personne choisie est un homme ».
Il y a équiprobabilité des tirages donc, d’après un résultat rappelé ci-dessus, P(A)=634800 ; P(A) = 0,7925 ; P(B)=360800 ; P(B) = 0,45.
A ∩ B est l’événement : « La personne choisie est un homme non végétarien ».
P(A∩B)=321800=0,40125.
A ∪ B est l’événement : « La personne choisie est non végétarienne ou est un homme ».
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) ; P(A ∪ B) = 0,79250 + 0,45000 – 0,40125 ;
P(A ∪ B) = 0,84125.
II. Probabilités conditionnelles
1) Exemple
Dans un lycée, cette année, au baccalauréat, on a relevé les résultats suivants.
Après la publication des résultats, on rencontre au hasard un élève parmi l’ensemble des élèves de terminale. Tous les élèves ont la même probabilité d’être rencontrés. On considère les événements suivants :
G : « L’élève est un garçon » ; A : « L’élève a obtenu son baccalauréat ».
On a P(A∩G)=138400=0,345 et P(G)=171400=0,4275.
Cherchons maintenant la probabilité de rencontrer une personne admise au baccalauréat sachant que c’est un garçon.
La probabilité de rencontrer une personne admise au baccalauréat sachant que c’est un garçon est :
138171≈0,807 (résultat arrondi à 10–3).
Cette probabilité est appelée probabilité de A sachant G.
C’est une probabilité conditionnelle. On note PG(A) la probabilité de A sachant G.
On a PG(A)=138171≈0,81.
Les nombres 138 et 171 sont respectivement Card(G∩A) et Card(G). Nous constatons alors que, dans le cas de ces deux éléments G et A, que : PG(A)=Card(G∩A)Card(G).
RemarqueOn peut remarquer que : PG(A)=138171=138400171400=P(G∩A)P(G).
2) Cas général
D’une manière générale, lorsque les issues sont équiprobables, une probabilité conditionnelle est définie par l’égalité obtenue ci-dessus dans un cas particulier.
Définition
Lorsque les issues de l’univers Ω sont équiprobables, pour tous événements A et B de cardinaux non nuls, la probabilité de B sachant A est PA(B) = Card(A∩B)Card(A).
Propriété
La probabilité de B sachant A est PA(B) = P(A∩B)P(A).