I. Partition de l'univers

Soient $A_1, A_2, \dots, A_n$ $n$ sous-ensembles de $\Omega$ .
On dit que $A_1, A_2, \dots, A_n$ forment une partition de $\Omega$ si :

$\checkmark$ $\forall i, \quad A_i \neq \emptyset$

$\checkmark\; \forall i, \forall j, \quad i \neq j \Rightarrow A_i \cap A_j = \emptyset$

$\checkmark\; A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = \Omega$

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Ce qui peut se dire : la probabilité d'un événement associé à plusieurs issues est égale à la somme des probabilités de chacune de ses issues.

Remarque : Si $A \neq \emptyset$ et $A \neq \Omega$ , alors $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de $\Omega$ .

II. Formule des probabilités totales

Théorème :

Soient $A_1, \dots, A_n$ $n$ événements qui forment une partition de $\Omega$ .
Alors, pour tout événement $B$ de $\Omega$ , on a :

$P(B) = P(A_1 \cap B) + \dots + P(A_n \cap B)$

$= P_{A_1}(B ) \times P(A_1) + \dots + P_{A_n}(B ) \times P(A_n)$

Un cas fréquent est d'utiliser une partition de l'univers par un ensemble $A$ et son complémentaire $\overline A$ ce qui donne :

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Partition et formule des probabilités totales

I. Partition de l'univers

II. Formule des probabilités totales