Nombres pairs, impairs, premiers

La parité d’un entier (l’entier est pair ou impair) est à la source de raisonnements sur les propriétés des entiers naturels. Les nombres premiers permettent quant à eux de construire, par multiplication, tous les entiers naturels exceptés 0 et 1.

I Parité d’un entier naturel

Un entier naturel est pair si et seulement s’il est multiple de 2.

Repère
À noter

Le successeur d’un entier pair est impair, et le successeur d’un entier impair est pair.

Le nombre 0 est pair.

Un entier naturel impair est un entier qui n’est pas pair.

Il en résulte qu’un entier a est pair si et seulement s’il existe un entier n tel que a = 2n et qu’un entier b est impair si et seulement s’il existe un entier n tel que b = 2n + 1.

Si un produit de nombres contient au moins un facteur pair, alors ce produit est pair. En effet si on note 2n un facteur pair du produit, le produit s’écrit 2n × … et est donc un multiple de 2.

Propriété. Un entier et son carré ont la même parité. Autrement dit, le carré d’un nombre pair est pair et le carré d’un nombre impair est impair.

Démonstration : Si un entier est pair, il peut s’écrire sous la forme 2n et son carré sous la forme (2n)² = 4n² = 2 × 2n² qui est donc pair.

Repère
À noter

On sait que (a + b)² = a² + 2ab + b².

Si un entier est impair, il peut s’écrire sous la forme 2n + 1 et son carré sous la forme :

(2n + 1)² = (2n)² + 2 × 2n × 1 + 1² = 4n² + 4n + 1 = 2(2n² + 2n) + 1 = 2N + 1

où N = 2n² + 2n.

Par conséquent (2n + 1)² est bien impair.

II Nombres premiers

Un entier naturel qui a exactement deux diviseurs s’appelle un nombre premier. Ces diviseurs sont 1 et lui-même. Autrement dit, un nombre premier n’a aucun diviseur propre. (Voir la liste des nombres premiers jusqu’à 100 dans le mémo visuel.)

Les nombres entiers qui ne sont pas premiers s’appellent des nombres composés.

Il existe un seul nombre premier pair, c’est 2. Tous les autres nombres premiers sont impairs.

Si p est un nombre premier, les seuls diviseurs de p² sont 1, p et p² ; les seuls diviseurs de p³ sont 1, p, p² et p³ et ainsi de suite.

1 Démontrer qu’un diviseur d’un nombre impair est impair

Repère
Conseils

a. Supposez qu’un nombre pair soit un diviseur d’un nombre impair et déduisez-en une conclusion absurde.

a. Démontrer qu’un nombre pair ne peut pas être un diviseur d’un nombre impair.

b. Donner un exemple d’un nombre impair qui soit un diviseur d’un nombre pair.

solution

a. Supposons qu’un nombre pair p soit un diviseur d’un nombre impair m. Alors m serait un multiple de p, donc on pourrait écrire m = pq où q est un nombre entier. Or un produit de nombres contenant un nombre pair est pair. Donc pq serait pair, et m le serait aussi, ce qui est impossible.

On en conclut que notre supposition est absurde, c’est-à-dire qu’il est impossible qu’un nombre pair soit un diviseur d’un nombre impair.

b. 7, qui est un nombre impair, est un diviseur de 14.

Voir une étude complète des liens entre parité et quotients dans l’exercice 18.

2 Déterminer si un nombre est premier

Expliquer comment le programme Python suivant permet de dire si l’entier naturel x fourni par l’utilisateur est premier ou non.

conseils

L’instruction x % n renvoie le reste de la division euclidienne de x par n.

solution

La boucle while ajoute 1 à n tant que le reste de la division euclidienne de x par n est strictement positif, donc différent de 0, et tant que n est strictement inférieur à n. Autrement dit, tant que x n’a aucun diviseur propre, la boucle se poursuit.

À la fin de la boucle, si x = n cela signifie que x n’a aucun diviseur propre, donc que x est premier. Sinon il y a un entier n qui est un diviseur propre de x et donc x est composé.