Nombres décimaux et rationnels

Les « nombres à virgule » sont bien plus mystérieux qu’il n’y paraît. En particulier, leur partie décimale est-elle finie ou infinie ? Peut-on prévoir quelle est sa millième décimale par exemple ? Tentons d’y voir clair.

I Nombres décimaux

Un nombre décimal est un nombre dont « l’écriture à virgule » comporte un nombre fini de décimales.

Repère
Rappel

Une écriture scientifique est de la forme a × 10p, où a est un nombre décimal tel que 1 ⩽  a  < 10, et p un entier relatif.

C’est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction dont le numérateur est un entier et le dénominateur est une puissance positive de 10.

On peut aussi définir un nombre décimal positif comme étant un nombre qu’on peut écrire sous forme scientifique.

Exemples :

• $\mathrm{27,18}=\mathrm{2,718}\times {10}^1=\frac{2718}{100}=\mathrm{27,180}$ : ce sont quatre écritures du même nombre décimal.

• Le nombre $\frac{4}{3}$ n’est pas décimal. Les décimaux 1,33 et 1,333 en sont des approximations.

L’ensemble des nombres décimaux se note 𝔻 : il comprend aussi bien des nombres positifs que des nombres négatifs.

Tout entier naturel est un entier relatif, et tout entier relatif est un nombre décimal donc ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻.

II Nombres rationnels

Un nombre rationnel est le quotient d’un entier relatif par un entier relatif non nul.

Un nombre qui n’est pas rationnel s’appelle un nombre irrationnel.

Quitte à simplifier la fraction représentant un nombre rationnel, on peut toujours supposer qu’elle est irréductible.

Repère
À noter

Pour la démonstration de la nature irrationnelle de $\sqrt{2}$, voir l’exercice 19.

Exemples :

• Le nombre $–\frac{11}{7}$ est un nombre rationnel.

• $\sqrt{2}$ est irrationnel et plus généralement tout nombre de la forme $\sqrt{p}$, où p est un nombre premier, est irrationnel.

• Le nombre π est également irrationnel.

L’ensemble des nombres rationnels se note ℚ et on a : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ.

Montrer qu’un nombre rationnel n’est pas décimal

1. À l’aide d’une calculatrice donner des valeurs approchées de $\frac{4}{3}$.

2. Pourquoi les nombres décimaux 1,333 et 1,3333 ne sont-ils pas des valeurs exactes du nombre $\frac{4}{3}$ ?

3. Supposons que l’on puisse écrire $\frac{4}{3}$ comme un nombre décimal d. Démontrons que cette hypothèse est absurde.

a. Quelle devrait être la dernière décimale du nombre d ?

b. Quelle serait la dernière décimale du nombre 3d ?

c. Conclure.

Repère
Conseils

2. Comparez $3\times \frac{4}{3}$ avec 3 × 1,33 et 3 × 1,333.

3.
a. Effectuez la division de 4 par 3.

c. Prouvez qu’on aboutit à une conclusion absurde.

solution

1. On trouve 1,33333333 avec uniquement des 3 à droite de la virgule.

2. Le nombre $\frac{4}{3}$ est le quotient de 4 par 3. Si on note q ce quotient, on a par définition 4 = 3q. Quand on effectue la multiplication 3 × 1,3333, on obtient un nombre décimal dont la dernière décimale à droite de la virgule est un 9, comme le montre l’opération ci‑contre, que l’on peut ­généraliser : si x est le nombre 1,33…3, toutes les décimales de 3x sont des 9. Donc x n’est pas la valeur exacte de q.

3.
a. Le nombre d étant le quotient de 4 par 3, la dernière décimale du nombre d devrait être un 3 comme le montre l’exemple ci-contre, que l’on peut généraliser.

b. La dernière décimale de 3d est donc 9, comme on l’a vu à la question 2.

c. Comme à la question 2, on voit qu’il est impossible d’avoir $\frac{4}{3}=3d$. On en conclut que l’hypothèse « $\frac{4}{3}$ est un nombre décimal » est absurde.