Nombres, calculs, et grandeurs

Ce fichier regroupe ce qui doit être bien maîtrisé des programmes des classes antérieures concernant : 

I. Calculs algériques, fractions

II. Petits nombres, grands nombres, puissances de 10, écriture scientifique

III. Ordre de grandeur, grandeurs quotients, masse volumique

IV. Calcul littéral, développer, factoriser

I. Calculs algébriques, fractions

a) Les parenthèses sont prioritaires

• Dans un enchaînement de calculs, on commence par les parenthèses. Si plusieurs parenthèses emboîtées, commencer par les plus intérieures.

$A=2\times (5-(3+1))=2\times (5-4)=2\times 1=2$

• Le trait de fraction remplace les parenthèses.

Si on veut écrire en ligne le quotient $\dfrac{4+8}{2}$, on doit écrire $(4+8)/2$ qui est égal à $6$. En cas d'oubli de parenthèses, le calcul sera $4+8/2$ qui vaut $4+4=8$. Le principe est le même lorsqu'on utilise la calculatrice : ne pas oublier les parenthèses.

b) La multiplication ou le quotient sont prioritaires sur l'addition ou la soustraction.

$B=5+3\times 4=5+12=17$

c) Opposé et inverse : ne pas les confondre

• L'opposé de $2$ est $-2$ ; l'opposé de $-2$ est $2$.
• L'inverse de $2$ est $\dfrac 12$ ; l'inverse de $\dfrac 12$ est $2$.
• L'inverse de $\dfrac 23$ est $\dfrac 32$.

c) Calculer avec des nombres relatifs

$(-4)+(-5)-(-7)=-4-5+7=-9+7=-2$

d) Les fractions

• Additionner ou soustraire des fractions : elles doivent impérativement avoir le même dénominateur. 

Je peux ajouter ou soustraire des tiers et des tiers, mais pas des tiers avec des quarts.

$\dfrac 53+\dfrac 83=\dfrac {13}{3}$

$\dfrac 53-\dfrac 54=\dfrac{20}{12}-\dfrac{15}{12}=\dfrac{5}{12}$

• Multiplier des fractions entre elles : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Inutile de réduire au même dénominateur.

$\dfrac 53\times \dfrac 54=\dfrac{5\times 5}{3\times 4}=\dfrac{25}{12}$

• Diviser des fractions entre elles : on multiplie la première par l'inverse de la seconde.

$\dfrac{\frac 53}{\frac 54}=\dfrac 53 \times \dfrac 45=\dfrac{5\times 4}{3\times 5}=\dfrac{{\cancel{5}}\times 4}{3\times {\cancel{5}}}=\dfrac{4}{3}$

• Fraction nulle, fraction non définie : 

Une fraction est nulle si son numérateur est nul.

Une fraction n'est pas définie si son dénominateur est nul. 

II. Petits nombres, grands nombres, puissances de 10, écriture scientifique

Exemples de petits nombres : 

Exemples de grands nombres :

Plutôt que d'utiliser ce vocabulaire, que ce soit en mathématiques, en PC ou en SVT, on utilise les puissances de $10$ et la notation scientifique. 

Notation scientifique et puissances de $\mathbf{10}$

Nombre en notation scientifique : nombre écrit sous la forme $a\times 10^n$  avec $a$ nombre décimal tel que $1 \le a$ < $10$, et $n$ un nombre entier positif ou négatif.

Exemple : $0,0078$ s'écrit $7,8\times 10^{-3}$ en écriture scientifique.

$1546$ s'écrit $1,546\times 10^3$ en écriture scientifique.

Notation utilisée par la calculatrice : $1,23\text E-12$ obtenu à la calculatrice siginifie $1,23\times 10^{-12}$.

Règles sur les puissances de ${10}$

$m$ et $n$ étant des entiers relatifs, c'est à dire des entiers positifs ou négatifs

$10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}$ --> exemple : $10^{-5}=\dfrac{1}{10^5}$

$10^m\times 10^n=10^{m+n}$ -->exemple : $10^7\times 10^3=10^{10}$

$10^0=1$

Attention : il n'y a pas de règle pour ajouter ou soustraire des puissances de $10$

Exemple : $10^4+10^2=10\,000+100=10\,100$

III. Ordre de grandeur, grandeurs quotients et masse volumique

Ordre de grandeur

Dans un calcul, souvent mené à la calculatrice, il est bon d'avoir en tête un ordre de grandeur du résultat, pour se vérifier. Dans la vie courante, sans calculatrice sous la main, cela peut également être utile.

Exemples d'ordres de grandeurs : 

Un atome a un diamètre de l'ordre de $10^{-10}$ m, celui de son noyau lui est de l'ordre de $10^{-15}$ m.

La taille moyenne d'une molécule est de l'ordre de $10^{-9}$ m. Cela fait partie des éléments les plus petits visibles à un microscope éléctronique très puissant.

Le diamètre de la terre de référence est d'environ $12\,750$ km au niveau de l'équateur, soit de l'ordre de $1,3\,10^{7}$ m.

La distance « terre-soleil » est de l'ordre de $10^{11}$ m. 

Exemple de calcul : Un calcul de physique a mené à ce résultat $A=\dfrac{1500\times 10^3\times 2,3}{200\,000\times 4,5}$. Un bon réflexe est d'utiliser les notations scientifiques.

$A=\dfrac{1,5\times 10^3\times 10^3\times 2,3}{2\times 10^5\times 4,5}$

${\phantom{A}=\dfrac{1,5\times 2,3\times 10^6}{2\times 4,5\times 10^5}}$

${\phantom{A}=\dfrac{1,5\times 2,3}{2\times 4,5}\times 10}$

A très gros traits, je vais dire que $\dfrac{1,5}{2}\approx 1$, que $\dfrac{2,3}{4,5}\approx \dfrac 12$ soit $0,5$ et que lorsque je multiplie par $10$ je dois trouver un nombre de l'ordre de $5$, mais certainement pas ni de l'ordre de $50$, ni de l'ordre de $0,05$.

Lorsqu'on fait le calcul à la calculatrice de $A$, on trouve : $A=3,83$ (arrondi au centième) qui est bien dans l'ordre de grandeur trouvé précédemment. 

Grandeurs quotients

Une grandeur quotient est une grandeur obtenue en divisant deux grandeurs.

Une vitesse moyenne est le quotient de la distance par le temps. Dire qu'une voiture roule à la vitesse moyenne de $110$ km/h signifie que cette voiture parcourt en moyenne $110$ km en $1$ heure.

Une densité de population est une grandeur quotient : on fait le quotient du nombre d'habitants par une superficie en km² et on obtient une densité exprimée en hab/km².

Une masse volumique est une grandeur quotient. La masse volumique est le quotient d'une masse (unités : kg) par un volume (unités : m³)

Exemple : La masse volumique d'un sable fin est de $1\,600$ kg/m³. Quelle masse de sable a-t-on à transporter pour réaliser un bac à sable de $2,5$ m³ ?

La masse de sable à transporter sera : $\mathcal M=1\,600\times 2,5=4\,000$ kg soit $4$ tonnes.

IV. Calcul littéral, développer, factoriser

Calcul littéral signifie calcul comportant une ou plusieurs lettres, et éventuellement des nombres. Dans un calcul littéral, une lettre représente un nombre, que l'on ne connaît pas nécessairement. 

Exemple : Le périmètre d'un cercle de rayon $r$ est $\mathcal P=2\pi\,r$. Si $r$ est connu, $\mathcal P$ peut être calculé. On dit que $2\pi\,r$ est une expression littérale.

Rappels du vocabulaire : 

Développer, c'est transformer un produit en une somme.

Factoriser, c'est le contraire de développer : c'est transformer une somme en un produit.

Réduire une expression, c'est l'écrire avec le moins de termes possible.

Rappels des règles de calcul : 

$a+a=2a$

$a\times a=a^2$ et $a\times a\times a=a^3$

$k\times(a+b)=k\times a+k \times b$

Si l'expression contient des puissances différentes, on fait le regroupement par puissance sans les mélanger.

Exemple : $2a^2+a^3-a^2+5a^3=6a^3+a^2$

Ajouter une somme revient à ajouter chacun de ses termes : on peut supprimer la parenthèse : $a+(b+c)=a+b+c$.
Soustraire une somme revient à soustraire chacun de ses termes : on peut supprimer la parenthèse en changeant le signe de chacun de ses termes. $a-(b+c)=a-b-c$ et $a-(b-c)=a-b+c$.

Double distributivité : 

Exemple : Développer $F=(2x+5)(y-2)$
$F=2x \times y +2x \times (-2)+5 \times y+5 \times (-2)$
${\phantom{F}=2xy+(-4x)+5y+(-10)}$
${\phantom{F}=2xy-4x+5y-10}$

Les trois identités remarquables qui peuvent servir à développer ou à factoriser :

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ (la différence de deux carrés)

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ (le carré d'une somme)

$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ (le carré d'une différence)

Exemple : Factoriser $x^2-5$. 

$x^2-5=(x+\sqrt 5)(x-\sqrt 5)$