Multiplier ou diviser des nombres relatifs

I. Rappel de définitions sur les nombres relatifs

Un nombre relatif est un nombre composé d'un signe $+$ ou $-$ suivi d'un nombre appelé distance à zéro.
Les nombres de signe $+$ sont les nombres positifs, on peut omettre le signe $+$ pour les écrire.
Les nombres de signe $-$ sont les nombres négatifs.
Le nombre zéro noté $0$ est à la fois positif et négatif.
Deux nombres relatifs de même distance à $0$ et de signes différents sont des nombres opposés.

Exemples :
$-9,2$ est un nombre négatif dont la distance à $0$ est $9,2$.
$4,7$ est un nombre positif dont la distance à $0$ est $4,7$.
$-5$ et $5$ sont deux nombres relatifs opposés.

II. Addition de deux nombres relatifs

Tu as vu l'année passée que :

La somme de deux nombres relatifs de même signe a le même signe que les deux nombres, et une distance à zéro égale à la somme des distances à zéro des deux nombres.

Exemples :
$-4,5 + (-7,2) = -(4,5 + 7,2) = -11,7$

La somme de deux nombres relatifs de signes opposés a le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro, et une distance à zéro égale à la différence des distances à zéro des deux nombres.

Exemples :
$18 + (-15)$ : la somme aura le signe $+$ car $18 \gt 15$
$18 + (-15) = +(18 - 15) = +3 = 3$
$(-34) + 29$ : la somme aura le signe $-$ car $34 \gt 29$
$(-34) + 29 = -(34 - 29) = -5$

III. Soustraction de nombres relatifs

Tu as vu l'année passée que :

Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.

Exemples :
$4 - 7 = 4 + (-7)$ : le résultat a le signe $-$ car $7 \gt 4$
$4 - 7 = -(7 - 4) = -3$
$-5 - (-7) = -5 + (+7) = -5 + 7$ : le résultat a le signe $+$ car $7 \gt 5$
$-5 - (-7) = +(7 - 5) = +2 = 2$

IV. Multiplication de nombres relatifs

cette année, tu vas aussi multiplier ou diviser des nombres relatifs entre eux.

Le produit de deux nombres relatifs de même signe est un nombre positif dont la distance à $0$ est le produit des distances à $0$ des deux nombres.
Le produit de deux nombres relatifs de signes opposés est un nombre négatif dont la distance à $0$ est le produit des distances à $0$ des deux nombres.

C'est la règle des signes :
    $+ \times + = +$
    $+ \times - = -$
    $- \times + = -$
    $- \times - = +$

Exemples :
$(-7) \times 4 = -7 \times 4 = -28$
$(-5) \times (-3) = +5 \times 3 = 15$

Produit de plusieurs nombres :

Le produit de plusieurs nombres relatifs est un nombre dont la distance à $0$ est le produit des distances à $0$ de tous les nombres.
S'il y a un nombre pair de nombres négatifs dans le produit, le résultat est positif.
S'il y a un nombre impair de nombres négatifs dans le produit, le résultat est négatif.

Exemples :
$(-4) \times 5 \times (-6) \times (-5)$ sera négatif, car il y a $3$ nombres négatifs sur les $4$ facteurs, et $3$ est impair.
$(-4) \times 5 \times (-6) \times (-5) = -(4 \times 5 \times 6 \times 5)$

$= -600$

$(-4) \times 5 \times (-3) \times (-5) \times (-1,2)$ sera positif, car il y a $4$ nombres négatifs sur les $5$ facteurs, et $4$ est pair.
$(-4) \times 5 \times (-3) \times (-5) \times (-1,2)$

$= +(4 \times 5 \times 3 \times 5 \times 1,2) = +360 = 360$

V. Quotient de nombres relatifs

Le quotient de deux nombres relatifs de même signe est un nombre positif dont la distance à $0$ est le quotient des distances à $0$ des deux nombres.
Le quotient de deux nombres relatifs de signes opposés est un nombre négatif dont la distance à $0$ est le quotient des distances à $0$ des deux nombres.

Exemples :
$\dfrac{12}{-4} = -\dfrac{12}{4} = -3$
$\dfrac{-35}{-7} = +\dfrac{35}{7} = +5$

VI. Enchaînement d'opérations et règles de priorité

Dans un calcul mathématique combinant plusieurs opérations, il faut effectuer les opérations en respectant les règles de priorité.

$1.$ S'il y a des parenthèses ou des crochets, on effectue d'abord le calcul dans les parenthèses et crochets. S'il y a des parenthèses ou crochets à l'intérieur de parenthèses ou crochets, on commence par les parenthèses et crochets les plus intérieurs.

$2.$ On effectue ensuite les multiplications et les divisions de gauche à droite.

$3.$ On termine par les additions et les soustractions de gauche à droite.

On dit que multiplication et division sont prioritaires sur l'addition et la soustraction.

Exemples :
$A = 12 - [-4 + (-12) \div 6] \times [15 - 7 \times (-5)] \div 30$
On effectue d'abord le calcul des crochets. Dans le premier, d'abord la division prioritaire sur l'addition, et dans le second, d'abord la multiplication prioritaire sur la soustraction.

$A = 12 - [-4 + (-2)] \times [15 - (-35)] \div 30$

$= 12 - [-6] \times [50] \div 30$
Dans l'expression restante, on effectue d'abord la multiplication du second terme, puis la division (de gauche à droite)

$A = 12 - (-300) \div 30 = 12 - (-10)$
Il reste la dernière soustraction :

$A = 12 - (-10) = 12 + 10 = 22$