Multiples, diviseurs et nombres premiers

I. Les multiples et les diviseurs

$1.$ Rappels sur les multiples et les diviseurs

$\circ$ Un nombre $a$ est un multiple de $b$ si on peut écrire $a = b \times k$, avec $k$ entier.

$\circ$ Un nombre $a$ est un diviseur de $b$ si $b$ est un multiple de $a$.

Exemples :

$\circ~12$ est un multiple de $4$ car $12 = 4 \times 3$.

$\circ~5$ est un diviseur de $20$ car $20 = 5 \times 4$.

II. Nombres premiers

$\circ$ Un nombre premier est un nombre qui a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.

$\circ$ Les nombres premiers inférieurs ou égaux à 30 sont :

$2~,3,5,7,11,13,17,19,23,~29$

⚠️ $1$ n’est pas un nombre premier.

III. Décomposition en produit de facteurs premiers

$\circ$ Tout nombre entier peut être décomposé en produit de nombres premiers.

Exemples :

$\circ~12 = 2 \times 2 \times 3$

$\circ~30 = 2 \times 3 \times 5$

IV. Utilité : reconnaître des fractions égales

$\circ$ Cette décomposition permet de simplifier ou transformer des fractions.

Exemples :

$\circ~\dfrac{12}{18}$

Décomposons~: $12 = 2 \times 2 \times 3$, $18 = 2 \times 3 \times 3$

On simplifie~: $\dfrac{12}{18} = \dfrac{2 \times 2 \times 3}{2 \times 3 \times 3} = \dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow~\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$

V. Exercices d'application

Exercice 1 : Décompose en produit de facteurs premiers

Décompose les nombres suivants : $18$ ; $24$ ; $30$.

Correction :

$\checkmark\quad 18 = 2 \times 3 \times 3$

$\checkmark\quad24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3$

$\checkmark\quad30 = 2 \times 3 \times 5$

Exercice 2 : reconnaître des fractions égales

Utilise la décomposition pour simplifier :

$\checkmark\quad\dfrac{18}{24} \qquad \checkmark\quad\dfrac{30}{45}$

Correction :

$\circ~18 = 2 \times 3 \times 3$, $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3$

donc : $\dfrac{18}{24} = \dfrac{2 \times 3 \times 3}{2 \times 2 \times 2 \times 3} = \dfrac{3}{4}$

$\circ~30 = 2 \times 3 \times 5$, $45 = 3 \times 3 \times 5$

donc : $\dfrac{30}{45} = \dfrac{2 \times 3 \times 5}{3 \times 3 \times 5} = \dfrac{2}{3}$

Problème : Le gâteau au chocolat

Emma utilise $18$ œufs pour faire $24$ parts de gâteau. Elle veut réduire la recette pour n’utiliser que $6$ œufs. Combien de parts pourra-t-elle faire si elle garde les mêmes proportions ?

Correction :

$\circ$ On cherche combien de parts correspondent à $6$ œufs, en gardant le même rapport que $18$ œufs pour $24$ parts.

$\circ$ Je peux poser la fraction : $\dfrac{18}{24}$

$\circ$ Je cherche à la simplifier pour obtenir un numérateur qui serait égal à $6$ : $\dfrac{18}{24}=\dfrac{6\times 3}{8\times 3}=\dfrac{6}{8}$

Réponse : Emma pourra faire $8$ parts avec $6$ œufs.

Remarque :

La résolution avec une fraction est une autre manière de présenter la solution qui aurait pu, bien sûr, être faite avec un tableau de proportionnalité comme l'an passé.