Modéliser l'évolution temporelle d'une transformation nucléaire : la radioactivité

I. Le noyau atomique

• Certaines notions vues dans la présente fiches ont déjà été présentée en classe de seconde.

• Pour plus de détails, il convient de réviser la fiche suivante :

Les transformations nucléaires

1. Les nucléons

• Les nucléons sont les particules qui constituent un noyau d'un atome : les protons de charge $+e$ et les neutrons de charge nulle ;

• Le nombre de protons dans un noyau est le nombre de charges (ou le numéro atomique), noté $Z$ ;

• Le nombre de nucléons (protons + neutrons) est le nombre de masse, noté $A$ ;

• Ainsi, le noyau d'un élément de symbole $X$ est noté par convention :

  $\boxed{_{\small Z} ^{\small A} \Large X}$

2. Les isotopes

• Définition :

  Deux noyaux isotopes ont le même nombre de proton(s) (ou le même numéro atomique ou le même nombre de charge) $Z$ mais des nombres différents de neutrons, donc des nombres de masse différents :

  $\boxed{^{A_1}_Z X ~ et ~ ^{A_2}_Z X ~ \text{avec} ~ A_1 \neq A_2}$

• Exemples :

$\circ\quad$ $^{16}_{8} O$, $^{17}_{8} O$ et $^{18} _{8} O$ ;

$\circ\quad$ $^{12}_{6} C$, $^{13}_{6} C$ et $^{14} _{6} C$ ;

$\circ\quad$ $^{3}_{1} H$ (tritium), $^{2}_{1} H$ (deutérium) et $^{1} _{1} H$ (hydrogène).

3. Stabilité et instabilité des noyaux

• La stabilité du noyau est assurée par l'interaction forte qui compense la répulsion électrique entre les protons.

• Sous l'action de ces deux forces, certains noyaux sont stables (= leurs durées de vie sont considérées comme étant infinies à l'échelle géologique) et d'autres sont instables (= destruction spontanée au bout d'une durée plus ou moins grande). Parmi les isotopes possibles d'un élément, seuls certains sont stables. Les autres se décomposent spontanément : on dit qu'ils sont radioactifs. Parmi les 350 noyaux naturels, 60 sont instables. Environ 1500 noyaux artificiels obtenus en laboratoire sont instables. L'ensemble des noyaux forme une représentation graphique que l'on nomme diagramme $(N,Z)$.

• Diagramme $(N,Z)$ :

  $\circ\quad$ L'ensemble des noyaux stables (en $\textcolor{red}{rouge}$) forme sur la représentation graphique la vallée de stabilité.

  $\circ\quad$ Les noyaux légers stables ($Z \lt 20$) se répartissent au voisinage de la première bissectrice ($N = Z$ autant de protons que de neutrons).

  $\circ\quad$ Les noyaux lourds stables ($Z \gt 20$) s'écartent de la bissectrice ($N = Z$). Ils ont plus de neutrons que de protons.

  $\circ\quad$ Pour les noyaux instables :

  $\longrightarrow$ En bout de la vallée de stabilité (en $\textcolor{green}{vert}$), ils se désintègrent en émettant des particules $\large \alpha$ : ils sont radioactifs $\large \alpha$ ;

  $\longrightarrow$ Au-dessus de la vallée de stabilité (en $\textcolor{blue}{bleu}$), ils sont émetteurs $\large \beta^-$.

  $\longrightarrow$ Au-dessous du domaine de stabilité (en $\textcolor{Orange}{jaune}$), ils sont émetteurs $\large \beta^+$.

II. Réactions nucléaires spontanée

1. Radioactivité

• Définition et propriétés :

  $\circ\quad$ La radioactivité est la désintégration spontanée de certains noyaux instables, accompagnée de rayonnements corpusculaires et éventuellement électromagnétiques ;

  $\circ\quad$ Les noyaux radioactifs sont des noyaux instables qui se décomposent suivant une réaction nucléaire spontanée ;

  $\circ\quad$ La désintégration radioactive est un phénomène aléatoire, spontané, inéluctable et indépendant des paramètres extérieurs ;

  $\circ\quad$ Au cours de ces réactions, le noyau radioactif, dit noyau père, donne naissance à un noyau fils et à une particule.

• Remarque : le noyau fils est souvent émis dans un état excité. Lorsqu'il se désexcite, il y a émission d'une très forte énergie sous forme d'onde lumineuse : c'est la radioactivité $\large \gamma$ (le rayonnement $\large \gamma$ est non-ionisant).

2. Loi de Soddy

3. Émission alpha

• Dans la radioactivité $\large \alpha$, le rayonnement corpusculaire est un noyau d'hélium $^{4}_{2}He$.

• Elle a lieu lorsque le nombre de nucléons est important, donc pour des noyaux naturels :

  $\boxed{\large ^A_Z X \longrightarrow ~ ^{A-4}_{Z-2} Y +~ ^4_2He}$

• Les particules sont expulsées avec des vitesses relativement modestes et sont arrêtées par une feuille de papier. Néanmoins elles sont très ionisantes et donc dangereuses.

• Remarque : elles ne sont pas dangereuses pour la peau mais elles sont dangereuses par absorption interne : inhalation ou ingestion.

4. Émission bêta moins

• Dans la radioactivité $\large \beta^-$, la particule émise est un électron $^{0}_{-1}e^{-}$.

• Ce type de radioactivité n'a lieu qu'avec un excès de neutrons, elle ne se produit que pour des noyaux naturels :

$\boxed{\large ^A_Z X \longrightarrow ~^{A}_{Z+1} Y + ~^{0}_{-1}e^{-}}$

• Les radionucléides $\large \beta^-$ possèdent trop de neutrons par rapport aux nucléides stables de même nombre de masse $A$. La transformation de ce neutron excédentaire produit un électron suivant ce bilan :

  $^1_0 n \longrightarrow ^1_1 p + ~^{0}_{-1}e^{-}$

• Remarque : le noyau fils peut être excité et fournir un rayonnement gamma lors de son émission. On peut avoir l'émission d'un antineutrino.

• Les particules $\large \beta^-$ sont assez peu pénétrantes. Elles sont arrêtées par quelques millimètres d'aluminium.

5. Émission bêta plus

• Dans la radioactivité $\large \beta^+$, la particule émise est un positon $^{0}_{+1}e^{+}$.

• Cette émission a uniquement lieu avec un excès de protons, donc pour les noyaux artificiels (au-delà de $Z = 92$ qui est l'uranium) :

$\boxed{\large ^A_Z X \longrightarrow ~^{A}_{Z-1} Y + ~ ^{0}_{+1}e^{+}}$

• La transformation d'un proton excédentaire produit un positon suivant le bilan :

  $^1_1 p \longrightarrow ^1_0 n + ~^{0}_{+1}e^{+}$

• En même temps que l'émission $\large \beta^+$ se forme un neutrino $\nu$. De la même façon le noyau fils peut être excité.

III. La loi de décroissance radioactive

1.Caractère aléatoire

• Propriété :

  La désintégration des noyaux radioactifs est un phénomène totalement aléatoire. Elle ne dépend que du type de noyau.

2. Activité d'un échantillon radioactif

• Définition :

  On appelle l'activité $A$ d'un échantillon radioactif le nombre de désintégrations effectuées par unité de temps :

  $\boxed{A = - \dfrac{\Delta N}{\Delta t}}$ $\textcolor{purple}{\text{(1)}}$

  avec :

  $\circ\quad$ $A$ est l'activité en becquerels ($Bq$) ;

  $\circ\quad$ $\Delta N$ représente la variation du nombre de noyaux (sans unité) ;

  $\circ\quad$ $\Delta t$ est la durée (en $s$).

• Remarques :

  $\circ\quad$ $A$ est positif. $\Delta N$ est négatif car le nombre de noyaux diminue au cours du temps.

  $\circ\quad$ $- \Delta N$ est le nombre de noyaux désintégrés pendant la durée $\Delta t$.

  $\circ\quad$ $1~Bq$ correspond à une désintégration par seconde.

  $\circ\quad$ L'activité dépend du nucléide choisi.

3. Loi de décroissance radioactive

• Énoncé :

  A tout instant $t$, l'activité $A$ est proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs $N$ :

  $\boxed{A = \lambda \times N}$ $\textcolor{purple}{\text{(2)}}$

  avec :

  $\circ\quad$ $A$ l'activité,

  $\circ\quad$ $\lambda$ la constante radioactive,

  $\circ\quad$ $N$ le nombre de noyaux radioactifs.

• Remarque :

  $\circ\quad$ $A(t) = \lambda \times N(t)$. On considère le cas particulier de très petits intervalles de temps avec $\textcolor{purple}{\text{(1)}}$ :

  $A = \lim_{\Delta t \to 0} ~- \dfrac{\Delta N}{\Delta t} = - \dfrac{dN}{dt}$ $\textcolor{purple}{\text{(3)}}$

  $\circ\quad$ Donc par analogie des deux formules $\textcolor{purple}{\text{(2)}}$ et $\textcolor{purple}{\text{(3)}}$, on obtient

  $- \dfrac{dN}{dt} = \lambda \cdot N \Longleftrightarrow \boxed{\dfrac{dN}{dt} + \lambda \cdot N = 0}$

  $\circ\quad$ Il s'agit d'une équation différentielle du premier ordre.

  $\circ\quad$ La solution de cette équation différentielle est :

  $\boxed{N(t) = N_0 \cdot e^{- \lambda \cdot t}}$

  ($N$ nombre de noyaux restant à l'instant $t$ considéré, $N_0$ nombre de noyaux à $t = 0$ et $\lambda$ constante radioactive du noyau considéré)

  $\circ\quad$ On en déduit que $\boxed{A = A_0 \cdot e^{- \lambda \cdot t}}$ où $A_0$ est l'activité à $t = 0$.

4. Constante radioactive lambda

• Propriété :

  La constante radioactive $\lambda$ dépend de l'isotope utilisé.

• Son unité est l'inverse d'un temps : s$^{-1}$, min$^{-1}$, h$^{-1}$, an$^{-1}$.

5. Temps de demi-vie $t_{1/2}$

• Définition :

  $\circ\quad$ La demi-vie, notée $t_{1/2}$, d'un corps radioactif est le temps au bout duquel la moitié des noyaux présents au départ s'est désintégrée.

  $\circ\quad$ Elle s'exprime en secondes dans le système international.

• On a donc : $N(t_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2}$ (car, si la moitié s'est désintégrée, il en reste la moitié) et

  $\boxed{t_{1/2} = \dfrac{\ln (2)}{\lambda}}$

• Démonstration :

  $N_0 \cdot e^{- \lambda \cdot t_{1/2}} = \dfrac{N_0}{2}$,

  soit $e^{- \lambda \cdot t_{1/2}} = \dfrac{1}{2}$,

  $\Rightarrow - \lambda . t_{1/2} = \ln \left(\dfrac{1}{2} \right)$,

  ou $- \lambda \cdot t_{1/2} = - \ln(2)$,

  c'est-à-dire $\boxed{t_{1/2} = \dfrac{\ln(2)}{\lambda}}$.

• Chaque fois qu'il s'écoule un temps $t_{1/2}$, le nombre de noyau restant est divisé par 2. Ainsi, au bout de $n$ demi-vies, le nombre de noyaux restant est :

  $\boxed{N = \dfrac{N_0}{2^n}}$

• Cette relation permet de tracer la courbe $N = f(t)$ ci-dessous :

  

• Si, au départ, on a $N_0$ noyaux, à $t_{1/2}$ on en a $\dfrac{N_0}{2}$ ; à $2t_{1/2}$, on en a $\dfrac{N_0}{2^2} = \dfrac{N_0}{4}$.

  Sur cette courbe, la constante de temps tau est l'abscisse du point d'intersection de la tangente à la courbe à $t = 0$ avec l'axe des abscisses ; on a $\tau = \dfrac{1}{\lambda}$.

• La connaissance du nombre de noyaux restant à l'instant $N(t)$, de $N_{0}$ et lambda permet de déduire t :

  $\circ\quad$ On a $N = N_0 \cdot e^{- \lambda \cdot t}$, d'où $\dfrac{N}{N_0} = e^{- \lambda \cdot t}$,

  $\circ\quad$ soit $\ln \left(\dfrac{N}{N_0} \right) = ln \left(e^{- \lambda \cdot t} \right)$ c'est-à-dire $\ln \left(\dfrac{N}{N_0} \right) = - \lambda \cdot t$,

  $\circ\quad$ donc $\boxed{t = - \dfrac{\ln \left(\dfrac{N}{N_0} \right)}{\lambda}}$.

IV. Dangerosité et détection

1. Effets biologiques

• Plus l'activité d'une source est grande, plus elle est dangereuse.

• Des formules qui précèdent, on déduit par analogie que $\boxed{A = \dfrac{N \times ln(2)}{t_{1/2}}}$.

• On déduit de cette expression qu'une source radioactive est d'autant plus active, donc dangereuse, qu'elle comporte un grand nombre de noyaux radioactifs et que sa demi-vie est courte.

• L'action sur les tissus vivants dépend :

  $\circ\quad$ Du nombre de particules reçues par seconde (ce nombre dépend de l'activité de la source et de sa proximité) ;

  $\circ\quad$ De l'énergie et de la nature des particules émises et donc reçues ;

  $\circ\quad$ Du fractionnement de la dose reçue ;

  $\circ\quad$ De la nature des tissus touchés.

• Les particules alpha ionisantes et le rayonnement gamma sont capables de provoquer des réactions chimiques ainsi que des modifications dans la structure des molécules constitutives la matière vivante. En particulier, ils peuvent induire des mutations du génome de l'individu lorsque l'ADN se trouve modifié.

2. Détection

• Les rayonnements issus de la radioactivité ne sont pas directement perceptibles car la radioactivité est invisible, inaudible et inodore.

• Elle ne peut être mise en évidence que par des outils d'observation indirecte :

  $\circ\quad$ Les plaques photographiques ;

  $\circ\quad$ Les chambres d'ionisation ;

  $\circ\quad$ Les détecteurs les plus couramment utilisés ;

  $\circ\quad$ Les compteurs à ionisation de gaz (compteur Geiger par exemple), les scintillateurs et les semi-conducteurs.

• Le principe est le même pour les différents détecteurs : un signal électrique est produit lorsque des électrons ou des rayons $\large \gamma\large$ émis par le corps radioactif traversent le détecteur.

_{= Merci à shadowmiko pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}