Les diviseurs d'un nombre

I. Retour sur la division euclidienne

La division euclidienne est la division dont le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des nombres entiers (c'est la division que tu connais depuis l'école primaire).

Voici la division euclidienne de 85 par 3 :

Ecriture en ligne : $85 = 3 \times 28 + 1$avec $0\leq 1\lt 3$
Dans 85, il y a 28 fois le nombre 3 et il reste 1.

Remarquons que le reste est toujours positif ou nul, mais strictement inférieur au diviseur.

II. Diviseurs et multiples d'un nombre

Définition
Soient $m$ et $d$ deux nombres.
On dit qu'un nombre $d$ est un diviseur d'un nombre $m$ s'il divise ce nombre, c'est-à-dire si le reste de la division euclidienne de $m$ par $d$ est nul.

Il existe $q$ tel que : $m=d\times q$

Vocabulaire :
On dit que : $d$ divise $m$
ou encore que : $m$ est divisible par $d$
ou encore que : $m$ est un multiple de $d$

Exemple : $98 = 7 \times 14$
$7$ est un diviseur de $98$.

Remarque : On dira que 98 est un multiple de 7.
1 est un diviseur de tous les nombres.

III. Diviseur commun

Définition
Soient deux nombres $a$ et $b$.
Un diviseur commun à $a$ et à $b$ est un nombre qui divise $a$ et qui divise $b$.

Exemple :
Les diviseurs de 60 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60.
Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48.
Les nombres 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 divisent les nombres 60 et 48. Ce sont des diviseurs communs à 60 et 48.