Les complexes et la trigonométrie

Dans tout ce qui suit, le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(0\;; \vec u \;,\vec v)$

I. Les formules d'addition

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$\circ\quad$ $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$

$\circ\quad$ $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$

$\circ\quad$ $\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$

$\circ\quad$ $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$

Démonstration de la première formule :

On en déduit :

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$\circ\quad$ $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 1 - 2\sin^2 a = 2\cos^2 a - 1$

$\circ\quad$ $\sin(2a) = 2\sin a \cos a$

II. Lien entre forme algébrique et argument

Théorème :

Soit $z$ un nombre complexe non nul tel que $z = a + \mathcal{i}b$ avec $a$ et $b$ deux réels.

Alors un argument de $z$ est un réel $\theta$ tel que :

$\cos \theta = \dfrac{a}{|z|}$ et $\sin \theta = \dfrac{b}{|z|}$

Théorème :

Deux nombres complexes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont même module et même argument (modulo $2\pi$).

III. Forme trigonométrique d'un complexe non nul

Définition :

Tout nombre complexe $z$ non nul peut s’écrire sous la forme :

$z = r (\cos \theta + \mathcal{i} \sin \theta)$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z) [2\pi]$.

Cette écriture est appelée forme trigonométrique de $z$.