Les angles

Prérequis

Une demi-droite est une portion de droite limitée par un point. Ce point est l'origine de la demi-droite, il lui appartient.
Notation : La demi-droite d'origine A qui passe par B est notée [AB). Elle peut aussi être notée [Ax) où x indique de quel côté la demi droite peut être prolongée.

I. Les angles

Définition
Un angle est la partie du plan délimitée par deux demi-droites de même origine. L'origine des demi-droites est le sommet de l'angle, et les demi-droites ses côtés.

L'angle délimité par les demi-droites [OA) et [OB) se note $\widehat{AOB}$ ou $\widehat{BOA}$.

NB : on peut présenter une demi-droite à partir de son origine et de sa direction (c'est-à-dire sans marquer de point particulier).
Dans la figure ci-dessous, les demi-droites se notent [Ox) et [Oy) et l'angle se note alors $\widehat{xOy}$ ou $\widehat{yOx}$.

II. Angles superposables

Deux angles sont superposables si en déplaçant et tournant l'un si besoin, on recouvre exactement l'autre. Si $\widehat{ABC}$ et $\widehat{POQ}$ sont superposables, on dit qu'ils sont égaux et on note $\widehat{ABC} = \widehat{POQ}$.
Comme pour les longueurs égales, on peut coder avec des symboles identiques les angles superposables. Dans la figure ci-dessous $\widehat{ABC} = \widehat{POQ}$ marqués avec deux traits rouges, et $\widehat{FGH} = \widehat{xOy}$ marqués avec un trait bleu.

III. Mesure des angles

Le degré

L'unité de mesure des angles utilisée au collège est le degré, noté °. Un angle de 1° correspond à la part obtenue en partageant un cercle en 360 parts égales.

Le rapporteur

Le rapporteur gradué en degrés est l'instrument qui permet de mesurer un angle sur une figure, ou de tracer un angle avec une mesure donnée.

Veiller à bien placer le petit trou du rapporteur sur le sommet de l'angle, pivoter pour qu'un côté de l'angle se trouve sur la graduation 0 ( attention, il y a des graduations de droite à gauche et de gauche à droite, dans le cas ci-dessus, le côté [Oy) est sur la graduation 0 en bas, il faut donc regarder la graduation du bas ). On a ici 60 plus 4 petites graduations, c'est donc un angle de 64°.
De même, pour tracer un angle de mesure donnée, on trace le sommet et le premier côté, on place le rapporteur sur le premier côté, on marque le point correspondant à la graduation de la mesure à tracer, et on trace la deuxième demi-droite.

IV. Type d'angles

On classe les angles en plusieurs types selon leur mesure.

V. Bissectrice d'un angle : pour aller plus loin

Définition

La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage l'angle en deux angles de même mesure.
La bissectrice est l'axe de symétrie de l'angle.

Construction de la bissectrice
Avec le rapporteur : on utilise le rapporteur pour mesurer l'angle, ensuite on divise la mesure par 2 et on place un point correspondant à cette moitié d'angle.

Avec la règle et le compas (plus précis):

On écarte le compas de quelques centimètres, on le pointe sur le sommet de l'angle et on place les points B et C sur les deux demi-droites de l'angle. (AB = AC)
Ensuite on pointe le compas sur le point B et on trace un arc de cercle comme sur la figure.
Sans changer l'écartement de b), on pointe le compas sur C et on trace l'arc de cercle pour avoir une intersection avec celui tracé en b.
Le point d'intersection D des arcs de cercle est un point de la bissectrice. On trace la demi-droite [AD) qui est la bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$.