Le vecteur accélération

Pour rendre compte des modifications de vitesse, on définit le vecteur accélération à partir du vecteur vitesse dont il exprime les variations à chaque seconde.

I. Dans un repère cartésien

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps (dérivée seconde du vecteur position) : aM→=dvM→dt=d2OM→dt2.

Les coordonnées (a_x ; a_y ; a_z) de aM→ sont les dérivées par rapport au temps t des coordonnées (v_x ; v_y ; v_z) de vM→ ou les dérivées secondes des coordonnées (x ; y ; z) du vecteur position OM→ :

$\overrightarrow{a_M} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$

$=\frac {dv_x}{dt} \vec{i} + \frac {dv_y}{dt} \vec{j} + \frac {dv_z}{dt} \vec{k}$

$= \frac{d^2x}{dt^2} \vec{i} + \frac{d^2y}{dt^2} \vec{j} + \frac{d^2z}{dt^2} \vec{k}$

Le vecteur accélération aM→ a pour :

origine : le point M ;

direction et sens : celui du vecteur Δv→ ;

valeur : a =ax2+ay2+az2 (en m · s⁻²).

II. Dans le repère de Frenet

Les mouvements circulaires sont souvent étudiés dans un repère lié au point mobile M, appelé repère de Frenet et noté (M, t→, n→). Dans ce repère :

v→=vt→ (v valeur de la vitesse)

a→=at→+an→=att→+ann→=dvdtt→+v2Rn→

at=dvdt (dvdt : dérivée de la vitesse par rapport à t) ;

an=v2R (R : rayon de la trajectoire).

À noter

t→ et n→ sont deux vecteurs unitaires liés au point M. t→ est tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement et n→ est perpendiculaire à t→ et orienté vers l’intérieur de la trajectoire.

v2R > 0, donc a→ et n→ sont de même sens : l’accélération est toujours dirigée vers l’intérieur de la trajectoire.

Méthode

Déterminer le vecteur accélération à partir du vecteur vitesse

M est un point mobile dans le plan (O, x, y).

Son vecteur vitesse à une date t est :

vM→=2t−3i→+2j→.

a. Déterminer les coordonnées de son vecteur accélération aM→.

b. Tracer le vecteur accélération à t = 1 s.

c. À la date t = 1 s, tracer le vecteur variation de vitesse : Δv→ = v2→ − v0→.

d. En déduire le tracé du vecteur a→ à t = 1 s.

e. Comparer les résultats obtenus en b. et en d.

Conseils

a. Dérivez les coordonnées v_x(t) et v_y(t) du vecteur vitesse.

b. Le vecteur accélération est tracé à partir de M₁.

c. Pour tracer Δv→, il faut mettre bout à bout v2→ et − v0→ à partir de M₁.

d. Le vecteur accélération est tracé à partir du vecteur Δv→. Entre deux dates proches, t₀ et t₂, on peut écrire : aM→=d vM→dt≈Δv→Δtentre  t0 et t2.

Solution

a. vx = 2 × t − 3 et vy = 2.

Soit : aM→=2i→+0j→=2i→.

b. Le vecteur a1→ est tracé en M₁ : voir figure.

c. Le vecteur variation de vitesse Δv→ est tracé à partir de M₁, on obtient Δv→=4i→.

d. La variation se produit entre t = 0 s et t = 2 s pendant 2 s, on a donc :

a1→=Δv→entre t0 et t22 = 4i→2 = 2i→.

e. Les deux résultats sont proches, mais la méthode graphique oblige à réaliser un tracé précis.