Pour rendre compte des modifications de vitesse, on définit le vecteur accélération à partir du vecteur vitesse dont il exprime les variations à chaque seconde.
I. Dans un repère cartésien
Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps (dérivée seconde du vecteur position) :
→aM=d→vMdt=d2→OMdt2
Les coordonnées (ax ; ay ; az) de →aM sont les dérivées par rapport au temps t des coordonnées (vx ; vy ; vz) de →vM ou les dérivées secondes des coordonnées (x ; y ; z) du vecteur position →OM.
→aM=ax→i+ay→j+az→k
→aM=dvxdt→i+dvydt→j+dvzdt→k
→aM=d2xdt2→i+d2ydt2→j+d2zdt2→k
Le vecteur accélération →aM a pour :
- origine : le point M ;
- direction et sens : celui du vecteurΔ→v ;
- valeur : a=√a2x+a2y+a2z (en m.s−2).
II. Dans le repère de Frenet
Les mouvements circulaires sont souvent étudiés dans un repère lié au point mobile M, appelé repère de Frenet et noté (M,→t,→n). Dans ce repère :
- →v=v→t(v : valeur de la vitesse) ;
- →a=→at+→an=at→t+an→n=dvdt→t+v2R→n
- at=dvdt (dvdt : dérivée de la vitesse par rapport à t) ;
- an=v2R (R : rayon de la trajectoire).
À noter
→t et →n sont deux vecteurs unitaires liés au point M. →t est tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement et →n est perpendiculaire à →t et orienté vers l’intérieur de la trajectoire.
v2R>0, donc →a et →n sont de même sens : l’accélération est toujours dirigée vers l’intérieur de la trajectoire.
Méthode
Déterminer le vecteur accélération à partir du vecteur vitesse
M est un point mobile dans le plan (O,x,y).
Son vecteur vitesse à une date t est :
→vM=(2t−3)→i+2→j
a. Déterminer les coordonnées de son vecteur accélération →aM.
b. Tracer le vecteur accélération à t=1 s.
c. À la date t = 1 s, tracer le vecteur variation de vitesse :Δ→v=→v2−→v0.
d. En déduire le tracé du vecteur →a à t=1 s.
e. Comparer les résultats obtenus en b. et en d.
Conseilsa. Dérivez les coordonnées vx(t) et vy(t) du vecteur vitesse.
b. Le vecteur accélération est tracé à partir de M1.
c. Pour tracer Δ→v, il faut mettre bout à bout →v2 et −→v0 à partir de M1.
d. Le vecteur accélération est tracé à partir du vecteur Δ→v. Entre deux dates proches, t0 et t2, on peut écrire : →aM=d→vMdt≈Δ→vΔt entre t0 et t2.
Solution
a. vx=2×t−3 et vy=2.
Soit : →aM=2→i+0→j=2→i
b. Le vecteur →a1 est tracé en M1 : voir figure ci-dessous.
c. Le vecteur variation de vitesse Δ→v est tracé à partir de M1, on obtient Δ→v=4→i.
d. La variation se produit entre t=0 s et t=2 s (pendant 2 s), on a donc :
→a1=Δ→vt2−t0=4→i2=2→i
→a1=Δ→vt2−t0=4→i2=2→i
e. Les deux résultats sont proches, mais la méthode graphique oblige à réaliser un tracé précis !
