Pour rendre compte des modifications de vitesse, on définit le vecteur accélération à partir du vecteur vitesse dont il exprime les variations à chaque seconde.

I. Dans un repère cartésien

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps (dérivée seconde du vecteur position) :

\overrightarrow{a_M} = \dfrac{d\overrightarrow{v_M}}{dt} = \dfrac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2}

Les coordonnées (

a_x

;

a_y

;

a_z

) de

\overrightarrow{a_M}

sont les dérivées par rapport au temps

t

des coordonnées (

v_x

;

v_y

;

v_z

) de

\overrightarrow{v_M}

ou les dérivées secondes des coordonnées (

x

;

y

;

z

) du vecteur position

\overrightarrow{OM}

\overrightarrow{a_M} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}

\overrightarrow{a_M} =\dfrac {dv_x}{dt} \vec{i} + \dfrac {dv_y}{dt} \vec{j} + \dfrac {dv_z}{dt} \vec{k}

\overrightarrow{a_M} = \dfrac{d^2x}{dt^2} \vec{i} + \dfrac{d^2y}{dt^2} \vec{j} + \dfrac{d^2z}{dt^2} \vec{k}

Le vecteur accélération

\overrightarrow{a_M}

a pour :

origine : le point $M$ ;
direction et sens : celui du vecteur $\Delta \vec{v}$ ;
valeur : $a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ (en $m.s^{-2}$ ).

II. Dans le repère de Frenet

Les mouvements circulaires sont souvent étudiés dans un repère lié au point mobile M, appelé repère de Frenet et noté

(M, \overrightarrow{t}, \overrightarrow{n})

. Dans ce repère :

$\overrightarrow{v} = v \overrightarrow{t}$ ( $v$ : valeur de la vitesse) ;
$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{a_t} + \overrightarrow{a_n} = a_t \overrightarrow{t} + a_n\overrightarrow{n} = \dfrac{dv}{dt}\overrightarrow{t} + \dfrac{v^2}{R}\overrightarrow{n}$
- $a_t = \dfrac{dv}{dt}$ ( $\dfrac{dv}{dt}$ : dérivée de la vitesse par rapport à $t$ ) ;
- $a_n = \dfrac{v^2}{R}$ ( $R$ : rayon de la trajectoire).

À noter

\overrightarrow{t}

\overrightarrow{n}

sont deux vecteurs unitaires liés au point

M

\overrightarrow{t}

est tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement et

\overrightarrow{n}

est perpendiculaire à

\overrightarrow{t}

et orienté vers l’intérieur de la trajectoire.

\dfrac{v^2}{R} \gt 0

, donc

\overrightarrow{a}

\overrightarrow{n}

sont de même sens : l’accélération est toujours dirigée vers l’intérieur de la trajectoire.

Méthode

Déterminer le vecteur accélération à partir du vecteur vitesse

M est un point mobile dans le plan

(O, x, y)

Son vecteur vitesse à une date

t

est :

\overrightarrow{v_M} = (2t - 3) \overrightarrow{i} + 2 \overrightarrow{j}

a. Déterminer les coordonnées de son vecteur accélération

\overrightarrow{a_M}

b. Tracer le vecteur accélération à

t = 1~s

c. À la date t = 1 s, tracer le vecteur variation de vitesse :

\Delta \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v_2} - \overrightarrow{v_0}.

d. En déduire le tracé du vecteur

\overrightarrow{a}

t = 1~s

e. Comparer les résultats obtenus en b. et en d.

Conseils

a. Dérivez les coordonnées

v_x(t)

v_y(t)

du vecteur vitesse.

b. Le vecteur accélération est tracé à partir de

M_1

c. Pour tracer

\Delta \overrightarrow{v}

, il faut mettre bout à bout

\overrightarrow{v_2}

-\overrightarrow{v_0}

à partir de

M_1

d. Le vecteur accélération est tracé à partir du vecteur

\Delta \overrightarrow{v}

. Entre deux dates proches,

t_0

t_2

, on peut écrire :

\overrightarrow{a_M} = \dfrac{d \overrightarrow{v_M}}{dt} \approx \dfrac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}

entre

t_0

t_2

Solution

v_x = 2 \times t - 3

v_y = 2.

Soit :

\overrightarrow{a_M} = 2 \overrightarrow{i} + 0 \overrightarrow{j} = 2 \overrightarrow{i}

b. Le vecteur

\overrightarrow{a_1}

est tracé en

M_1

: voir figure ci-dessous.

c. Le vecteur variation de vitesse

\Delta \overrightarrow{v}

est tracé à partir de

M_1

, on obtient

\Delta \overrightarrow{v} = 4 \overrightarrow{i}

d. La variation se produit entre

t = 0 ~\text{s}

t = 2 ~\text{s}

(pendant

2~s

), on a donc :

\overrightarrow{a_1}=\dfrac{\Delta \overrightarrow{v}}{t_2 - t_0}=\dfrac{4\overrightarrow{i}}{2} = 2 \overrightarrow{i}

e. Les deux résultats sont proches, mais la méthode graphique oblige à réaliser un tracé précis !