Le théorème de Thalès (configuration triangles emboîtés)

I. Thalès, c'est qui ?

De son vrai nom Thalès de Milet, a vécu de 625 av JC à 547 av JC.

Célèbre pour un théorème qu'il n'a ni découvert, ni démontré (la démonstration du théorème de Thalès a été réalisée par Euclide 3 siècles après sa découverte), Thalès de Milet était un philosophe, un homme d'état, un ingénieur, un mathématicien... mais surtout un astronome réputé.

II. Le théorème de Thalès dans une configuration triangles emboîtés

Dans un triangle $ABC$, si $M$ est un point du côté $[AB]$, $N$ un point du côté $[AC]$,

et si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors : $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}$

Remarque :

On a exactement la même propriété dans la configuration suivante :

III. Application : calculer une longueur manquante

Énoncé

Sur la figure ci-dessous (qui n'est pas à l'échelle), les triangles $PQN$ et $PRM$sont tels que $(QN)$ et $(RM)$ sont parallèles.Que vaut la longueur $PM$ ?

Solution

On sait que $(QN)\parallel (RM)$

Les triangles $PNQ$ et $PMR$ sont des triangles emboîtés dans la configuration de Thalès.

On peut écrire : $\dfrac{PN}{PM}= \dfrac{PQ}{PR}= \dfrac{QN}{RM}$

Remplaçons par les longueurs connues.

$\dfrac{4}{PM}= \dfrac{PQ}{PR}= \dfrac{3}{5}$

Le quotient "du milieu" n'est pas utile ici. On a : $\dfrac{4}{PM}=\dfrac{3}{5}$

On en déduit que : $4\times 5=3\times PM$ en faisant un produit en croix.

$20=3\times PM$ d'où en divisant les deux membres par $3$, on obtient :

$PM=\dfrac {20}{3}$ soit en valeur approchée environ $6,7$ unités de longueur.