Le théorème de Pythagore

I. Pythagore, c'est qui ?

Pythagore (580 av JC - 490 av JC)

Ce mathématicien et astronome est extrêmement célèbre notamment grâce à un théorème qu'il n'a manifestement pas été le premier à trouver - puisque les premiers "essais" du théorème de Pythagore remontent à bien longtemps avant le VIe siècle avant JC, époque à laquelle Pythagore aurait vécu.

II. Le théorème de Pythagore

Un théorème n'est en fait qu'une propriété un peu plus importante que les autres.

Dans le cas d'un triangle rectangle, et uniquement dans ce cas, le plus grand côté (qui fait donc face à l'angle droit) s'appelle l'hypoténuse.

Théorème :

Si ABC est un triangle rectangle en B alors on a :

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

On peut également dire que le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit.

III. Application : chercher la longueur de l'hypoténuse

On considère un triangle $DEF$ rectangle en $D$ tel que DE$= 3$ cm et $DF = 4$ cm. On veut déterminer la longueur de $[EF]$.

$1.$ Faire un dessin à main levée et y noter les informations de l'énoncé.

$2.$ Je rédige en commençant par rappeler que le triangle étant rectangle, je peux utiliser le théorème de Pythagore.

Dans le triangle DEF rectangle en D, je peux appliquer le théorème de Pythagore.

On a donc : $EF^2 = DE^2 + DF^2$

On remplace les longueurs connues par leurs valeurs :
$EF^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$EF$ est une longueur donc une quantité positive.

$EF=5$ cm.

IV. Application : chercher la longueur d'un des côtés de l'angle droit

On considère un triangle $GHI$ rectangle en $G$ tel que $GH = 8$ cm et $HI = 17$ cm. On veut déterminer la longueur de $[GI]$.

$1.$ Faire un dessin à main levée et y noter les informations de l'énoncé.

$2.$ Je rédige en commençant par rappeler que le triangle étant rectangle, je peux utiliser le théorème de Pythagore.

Dans le triangle $GHI$ rectangle en $G$, on applique le théorème de Pythagore.

On a donc : $HI^2 = GI^2 + GH^2$

On remplace les longueurs connues par leurs valeurs :
$17^2 = GI^2 + 8^2$

Ce qui donne :
$289 = GI^2 + 64$

On est ramené à résoudre une équation. Pour cela, on retranche 64 aux deux membres de l'équation :
$289 - 64 = GI^2$

$GI^2 = 225$

En utilisant la racine carrée, on obtient :
$GI = 15$ cm.

Remarque :

Il est important d'écrire dans un premier temps l'égalité du théorème avec le nom des sommets, et ensuite de remplacer les longueurs par leurs valeurs.