Le quotient de deux nombres

I) Les points clés

1) Vocabulaire

Le quotient du nombre $a$ par le nombre $b$ peut se noter : $\dfrac{a}{b}$

($a$ est le numérateur, $b$ est le dénominateur).

C'est une écriture fractionnaire.

Exemples : $\dfrac{3,2}{7}$ (on lit « $3,2$ sur $7$ ») et $\dfrac{25}{0,5}$ sont des écritures fractionnaires.

Si les nombres $a$ et $b$ sont des entiers, l'écriture fractionnaire $\dfrac{a}{b}$ s'appelle une fraction.

Exemple : $\dfrac{15}{16}$ est une fraction. On lit « $15$ sur $6$ » ou « quinze sixièmes ».

2) Fractions et nombres décimaux

Certaines fractions sont des nombres entiers

Exemple : $\dfrac{18}{2}=9$ car $18~\div~2=9$

Certaines fractions sont des nombres décimaux.

Exemple : $\dfrac{15}{6}=2,5$ car $15~\div~6=2,5$

Attention ! La fraction $\dfrac{17}{6}$ n'est pas un nombre décimal. La division ne s'arrête pas.

On peut donner :

• la valeur approchée à l'unité par défaut : $\dfrac{17}{6}\approx2$ ;
• la valeur approchée au dixième par défaut : $\dfrac{17}{6}\approx2,8$ ;
• l'encadrement à l'unité : 2<\dfrac{17}{6}<3 ;
• la valeur approchée au centième par excès : $\dfrac{17}{6}\approx2,84$.

3) Quotients égaux

On ne change pas le quotient $\dfrac{a}{b}$ (ou la fraction $\dfrac{a}{b}$), si on multiplie ou si on divise $a$ et $b$ par un même nombre différent de $0$.

Exemples :

• $\dfrac{6}{9}=\dfrac{6\times4}{9\times4}=\dfrac{24}{36}$ ;
• $\dfrac{18}{24}=\dfrac{18~\div~6}{24~\div~6}=\dfrac {3}{4}$ ;
• On dit que $\dfrac{3}{4}$ est la fraction simplifiée de $\dfrac{18}{24}$.

4) Critères de divisibilité

Un nombre entier est divisible :

• par 2 quand son chiffre des unités est $0$, $2$ ; $4$ ; $6$ ou $8$ ;
• par 3 quand la somme des chiffres est un multiple de $3$ ;
• par 4 quand le nombre formé par les chiffres des dizaines et des unités est un multiple de $4$ ;
• par 5 quand son chiffre des unités est $0$ ou $5$ ;
• par 10 quand son chiffre des unités est $0$.
  
  

Mot-clé :

Fraction décimale : une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est $10$, $100$, $1~000$, etc.

II) Un peu de méthode

1) Placer un quotient sur une demi-droite graduée

Pour placer $\dfrac{7}{3}$ sur une demi-droite graduée :

1.  Je choisis une unité pouvant se partager en $3$ parties égales sur la demi-droite tracée (par exemple : $3~cm$, $6~cm$, etc.) et je gradue.
   
   
2.  Je compte de $\dfrac{1}{3}$ en $\dfrac{1}{3}$ jusqu'à $\dfrac{7}{3}$ et je place $\dfrac{7}{3}$.

2) Calculer le quotient de deux nombres décimaux

Je transforme leur écriture afin d'obtenir une division par un nombre entier.

Pour cela, je multiplie le numérateur et le dénominateur en utilisant la propriété des quotients égaux, puis je pose la division.

3) Diviser par 0,1 ou par 0,01 ou par 0,001

Quand je divise un nombre par $0,1$ ou par $0,01$ ou par $0,001$, je multiplie par $10$, par $100$ ou par $1~000$.

Donc, je décale la virgule de $1$, $2$ ou de $3$ rangs vers la droite.

Exemples :

• 13 ÷ 0,1 = 130 ou $13 \times 10 = 130$ ;
• 3,8 ÷ 0,01 = 380 ou $3,8 \times 100 = 380$.