Le cercle trigonométrique et le radian

I. Le cercle trigonométrique

Jusqu'à présent, un angle a toujours été compris entre 0 et 360°. Mais ce modèle a rapidement rencontré ses limites lorsqu'il a fallu caractériser des mouvements circulaires possédant un sens, et donc nécessitant des angles négatifs.

Définition
Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O;I,J)$, on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre $O$, de rayon 1, pour lequel on a choisi une orientation :

• Le sens positif, appelé sens direct ou trigonométrique, correspond au sens contraire des aiguilles d'une montre.

• Le sens négatif, ou sens indirect, correspond au sens des aiguilles d'une montre.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O;I,J)$, on considère le cercle trigonométrique et une droite $(d)$, parallèle à l'axe des ordonnées, passant par $I$. Tous les points de cette droite ont donc des coordonnées de la forme $(1;x)$. On enroule alors cette droite autour du cercle trigonométrique, dans le sens direct pour les valeurs positives de $x$ et dans le sens indirect pour les valeurs négatives.

Remarque : Lorsque $0\leq x\leq 360$, la longueur de l'arc de cercle $\widehat{IOM}$ vaut $x$.
À chaque valeur de $x$ correspond donc un unique point $M(x)$ sur le cercle. Mais la réciproque n'est pas vraie : un point du cercle est atteint par une infinité de points de la droite $(d)$, séparés les uns des autres d'un ou plusieurs tours de cercle.

Puisque le rayon du cercle trigonométrique est de 1, cela signifie que son périmètre est de $2\pi$. Ainsi, un tour de cercle a une longueur de $2\pi$ et, pour un réel $x$ donné, tous les réels de la forme $x+2k\pi$, avec $k$ entier relatif, possèdent la même image sur le cercle trigonométrique.

Pour déterminer si deux réels sont associés à un même point du cercle, on va donc s'intéresser à leur différence et regarder si cette différence est un multiple de $2\pi$.

Exemple :
$\dfrac{49\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{48\pi}{6}=8\pi=4 \times 2\pi$.
Par conséquent, les réels $\dfrac{49\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{6}$ sont représentés par un même point sur le cercle trigonométrique.

Voyons maintenant comment placer les points associés à un réel $x$ donné.
On peut, par exemple, utiliser la proportionnalité pour les valeurs de $x$ comprises entre 0 et 360.

Exemple :
On veut trouver la position du point $M$ associé à $\frac{\pi}{6}$.

Ainsi, l'angle mesure $\dfrac{360 \times \frac{\pi}{6}}{2\pi}=30$.
Il s'agit donc du point $M$ du cercle trigonométrique tel que $\widehat{IOM}=30°$.

Si, en revanche, le réel $x$ n'appartient pas à l'intervalle $[0;360]$ et qu'il est écrit sous la forme d'une fraction de $\pi$, on va alors partitionner le cercle trigonométrique à l'aide du dénominateur de la fraction.

Exemple :
On veut trouver la position du point $M$ associé à $\dfrac{-20\pi}{3}$.
On va donc partager chaque demi-disque en trois, puis compter, dans le sens indirect, 20 secteurs.

Ainsi, le point $M$ est aussi associé aux réels $\dfrac{-2\pi}{3} ; \dfrac{-8\pi}{3} \text{ et } \dfrac{-14\pi}{3}$.

Remarque : Les nombres associés à chaque point $M$ du cercle trigonométrique sont des angles exprimés dans une nouvelle unité : le radian.

Définition : Un arc $AB$ a pour longueur $\alpha$ avec $0 \leq \alpha \leq \pi$.

On convient de dire que l’angle $\widehat{AOB}$ a pour mesure $\alpha$ radians.

Un angle de 1 radian intercepte un arc de longueur 1.

Valeurs remarquables : Les mesures en degrés et en radians sont proportionnelles.