Le binôme de Newton

I. Coefficient binomial

Définition de la factorielle $n!$

Définition : Soit $n$ un entier naturel non nul. On appelle factorielle de $n$ le nombre :
$n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$

Par convention, $0! = 1$.

Définition du coefficient binomial

Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $k \leq n$, alors :

$\circ\quad$ Formule du coefficient binomial : $\displaystyle\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! (n - k)!}$.

$\circ\quad$Symétrie : $\displaystyle\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$.

$\circ\quad$ Valeurs particulières :
$\displaystyle\binom{n}{0} = 1$,
$\displaystyle\binom{n}{1} = n$,
$\displaystyle\binom{n}{2} = \dfrac{n(n - 1)}{2}$.

$\circ\quad$ Relation de Pascal :
Pour tous entiers naturels $n$ et $k$ tels que $1 \leq k \leq n - 1$, on a :
$\displaystyle\binom{n}{k} = \binom{n - 1}{k - 1} + \binom{n - 1}{k}$.

Cette relation donne naissance au triangle de Pascal.

Démonstration combinatoire

Dans un arbre « succès-échec » à $n$ niveaux, le nombre de chemins réalisant $k$ succès est $\displaystyle \binom{n}{k}$.

Parmi ces chemins, on peut distinguer ceux qui commencent par :

• Un échec : il faut donc ensuite $k$ succès en $n - 1$ épreuves. Leur nombre est $\displaystyle \binom{n-1}{k}$.

• Un succès : il faut donc ensuite $k - 1$ succès en $n - 1$ épreuves. Leur nombre est $\displaystyle\binom{n-1}{k-1}$.

Donc : $\displaystyle\binom{n}{k} =\displaystyle \binom{n-1}{k} + \displaystyle\binom{n-1}{k-1}$.

Démonstration analytique :

Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $1 \leq k \leq n - 1$.

$\displaystyle \binom{n-1}{k-1} +\displaystyle \binom{n-1}{k} = \dfrac{(n-1)!}{(k-1)! (n-k)!} + \dfrac{(n-1)!}{k! (n-k)!}$

$= \dfrac{k (n-1)!}{k! (n-k)!} + \dfrac{(n-k)(n-1)!}{k! (n-k)!}$

$= \dfrac{k (n-1)! + (n-k)(n-1)!}{k! (n-k)!}$

$= \dfrac{n (n-1)!}{k! (n-k)!}$

$= \displaystyle\binom{n}{k}$

II. Triangle de Pascal

On peut calculer les $\displaystyle \binom{n}{k}$ à l’aide du tableau ci-dessous, appelé triangle de Pascal.

Triangle de Pascal : _{(issu de Wikipedia)}

Présenté également souvent ainsi :

À l'intersection de la ligne $n$ et de la colonne $k$, on lit l'entier $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$.

On commence par écrire les « 1 » dans la 1^ère colonne et sur la diagonale, puis on utilise la relation de Pascal, selon le schéma : $\displaystyle\binom{n}{k} =\displaystyle \binom{n-1}{k} + \displaystyle\binom{n-1}{k-1}$.

III. Formule du binôme de Newton

Propriété : Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes. Pour tout entier naturel $n$, on a :

$(a + b)^n = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$

Cette formule se démontre par récurrence.

Exemple d'application :

$(a+b)^3=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{3} \binom{3}{k} a^k b^{3-k}$

$(a+b)^3=\displaystyle\binom{3}{0} a^0 b^{3-0}+\displaystyle\binom{3}{1} a^1 b^{3-1}+\displaystyle\binom{3}{k} a^2 b^{3-2}+\displaystyle\binom{3}{3} a^3 b^{3-3}$

$(a+b)^3=b^3+3ab^2+3a^2b+ a^3$

IV. Exemple d'application

Calculer $(1+\text i)⁴$.

Solution :

Il est indispensable de bien connaître sans hésitations les premières puissances du complexe $\text i$.

$\text i^1=\text i$ ; $\text i^2=-1$ ; $\text i^3=-\text i$ ; $\text i^4=1$ ; et ainsi de suite.

Les coefficients de la ligne $n=4$ du triangle de Pascal sont : 1 ; 4 ; 6 ; 4 ; 1.

$(1+\text i)^4={\red{1}}\times 1^0\times \text i^4+{\red{4}}\times 1^1\times \text i^3+{\red{6}}\times 1^2\times \text i^2+{\red{4}}\times 1^3\times \text i^1+{\red{1}}\times 1^4\times \text i^0$

$(1+\text i)^4=1-4\text i-6+4\text i+1$

$(1+\text i)^4=-4$

Dans cet exemple, on aurait pu mener le calcul plus rapidement, ce qui ne sera pas toujours le cas, en remarquant que $(1+\text i)^2=2\text i$.

On a alors : $(1+\text i)^4=\left((1+\text i)^2\right)^2=(2\text i)^2=-4$.