Informations chiffrées

Les informations délivrées par les médias sont truffées de nombres : pourcentages, pourcentages de pourcentages, indices, coefficients multiplicateur, variations absolues, relatives... Comment s’y retrouver ?

I Pourcentages

1 Généralités

Un pourcentage est une façon particulière d’écrire une fraction : au lieu d’écrire $\frac{a}{100}$ (a sur 100 ou a centièmes) on écrit a % (a pour cent).

Pour calculer un pourcentage d’une quantité, on en calcule une fraction dont le dénominateur est 100.

Exemple : Dans un lycée de 200 élèves il y a 48 latinistes. La proportion, ou fraction,

de latinistes est $\frac{48}{200}=\frac{24}{100}$. Il y a donc 24 % de latinistes.

« Appliquer un pourcentage (ou un taux de pourcentage) » d’une quantité est synonyme de « multiplier la quantité par la fraction correspondante ».

Exemple : 32 % de 190 valent$\frac{32}{100}\times 190=\mathrm{0,32}\times 190=\mathrm{60,8}$.

2 Coefficients multiplicateurs

Repère
À noter

Lorsqu’une quantité q augmente de t %, puis diminue de t %, la quantité obtenue n’est pas égale à q.

Si on augmente une quantité q de t % on obtient la quantité :

$q^{\prime }=q\times \left(1+\frac{t}{100}\right)$

En effet, si q augmente de t %, alors elle se transforme en une quantité q′ égale à q

à laquelle on ajoute l’augmentation qui vaut $q\times t\%=q\times \frac{t}{100}$.

Si on diminue une quantité q de t % on obtient la quantité :

$q^{\prime }=q\times \left(1–\frac{t}{100}\right)$

En effet, si q diminue de t %, on soustrait q × t % à la quantité initiale.

II Variations absolues et variations relatives

Lorsqu’une quantité varie de la valeur initiale vi à la valeur finale vf :

• sa variation absolue est la différence vf – vi ;

• sa variation relative (ou taux d’évolution) est le quotient $\frac{v_f–v_i}{v_i}$. Elle mesure

la fraction que représente la variation absolue par rapport à la valeur initiale. Elle s’exprime généralement en pourcentage.

Méthode

Augmentations et réductions

Première étape. On dispose d’une somme A. On enlève 10 % de sa valeur, on obtient A′. On enlève à cette somme A′ 20 % de sa valeur, on obtient A″.

Deuxième étape. Reprenons cette même somme A. On lui enlève 20 % de sa valeur ce qui donne B′ On enlève à B′ 10 % de sa valeur, on obtient B″.

1. L’une des deux sommes A″ ou B″ représentent-elles 70 % de la somme initiale A ?

2. A-t-on A″ = B″ ? Justifier la réponse.

3. La réponse à la question 2. reste-t-elle valable pour la situation décrite par le schéma ci-contre ?

Repère
Conseils

1. On peut répondre facilement en prenant un exemple simple.

2. et 3. La façon la plus efficace de répondre consiste à utiliser les coefficients multiplicateurs.

Solution

À noter

Les pourcentages de baisse ne s’ajoutent pas.

1.Si A = 100 on trouve successivement $A^{\prime }=100\times \left(1–\frac{10}{100}\right)=100\times \mathrm{0,90}=90$ et A′ = 90 × 0,8 = 72. Donc A″ n’est pas égale à 70 % de A mais à 72 % de A.

De même B″ n’est pas égale à 70 % de A.

2. $A^{\prime }=\left(1–\frac{10}{100}\right)A=\mathrm{0,9}A$ et $A^{″}=\left(1–\frac{20}{100}\right)A^{\prime }=\mathrm{0,8}{A}^{\prime }=\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,9}A=\mathrm{0,72}A$.

$B^{\prime }=\left(1–\frac{20}{100}\right)A=\mathrm{0,8}A$ et $B^{″}=\left(1–\frac{10}{100}\right)B^{\prime }=\mathrm{0,9}{B}^{\prime }=\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,8}A=\mathrm{0,72}A$.

DoncA″ =B″. Ces sommes représentent toutes les deux 72 % de A, c’est-à-dire A diminuée de 28 % de sa valeur.

3. $C^{\prime }=\left(1+\frac{10}{100}\right)C=\mathrm{1,1}C$ et .

$D^{\prime }=\left(1–\frac{20}{100}\right)C=\mathrm{0,8}C$ et $D^{″}=\left(1+\frac{10}{100}\right)D^{\prime }=\mathrm{1,1}D=\mathrm{1,1}\times \mathrm{0,8}C=\mathrm{0,88}C$.

DoncC″ =D″. Elles représentent toutes les deux 88 % de C.