Forme canonique, factorisation, racines et signe

La forme canonique permet de factoriser toute fonction polynôme du second degré puis de résoudre systématiquement toute équation du second degré.

I. Forme canonique et racines

Soit trois réels $a,~b,~c$ avec $a\neq 0$ et soit la fonction polynôme du second degré $P$ définie pour tout réel $x$ par $P(x)=ax^2+bx+c$. 

La forme canonique de P(x) s’écrit, pour tout $x\in \textbf R$ :

$P(x)=a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)$.

Le réel $\Delta=b^2-4ac$ est appelé discriminant de$P$ ou discriminant de l’équation $ax^2+bx+c=0$ .

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II. Signe d’une fonction polynôme du second degré

Règle générale : toute fonction polynôme du second degré est du signe de son coefficient dominant sauf éventuellement entre ses racines.

Plus précisément, soit $P$ une fonction polynôme de coefficient dominant (c'est à dire le coefficient de $x^2$) le réel non nul $a$ et de discriminant $\Delta$.

• Si Δ < 0 alors pour tout réel $x$, $P(x)$ est du signe de $a$.

• Si Δ = 0 et si $x_0$ est l’unique racine de $P$ alors pour tout réel $x$, $P(x)=a(x-x_0)^2$ et $P(x)$ est du signe de $a$.

À noter

Il ne faut pas confondre le signe du discriminant et le signe de la fonction polynôme.

• Si Δ > 0 et si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $P$ avec $x_1$ < $x_2$ alors pour tout réel $x$, $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Si $x\in ]-\infty~;~x_1[\cup ]x_2~;~+\infty[$ alors $P(x)$ est du signe de $a$ et si $x\in ]x_1~;~x_2[$ alors $P(x)$ est du signe de $-a$. 

Méthode

1)  Résoudre des équations du second degré

Résoudre les équations suivantes.

a. $-6x^2+x+1=0$

b. $5x^2-6x+2=0$

c. $2x^2+2x+\dfrac 12=0$

Repère
Conseils

• Lorsque la factorisation n’est pas évidente, on calcule le discriminant.

• On déduit du signe du discriminant l’existence et le nombre de solutions, puis on calcule leurs valeurs.

Solution

a. L’équation admet pour discriminant $\Delta _1 = 1^2-4\times (-6)\times 1$, soit $\Delta _1=25$ et $\Delta _1$ > $0$.

L’équation admet donc deux solutions réelles distinctes :

$x_1=\dfrac{-1-\sqrt{25}}{2\times (-6)}$ et $x_1=\dfrac{-1+\sqrt{25}}{2\times (-6)}$ soit $x_1=\dfrac12$ et $x_2=-\dfrac 13$

b. L’équation admet pour discriminant $\Delta _2=(-6)^2-4\times 5\times 2$ soit $\Delta _2=-4$ et $\Delta _2$ < $0$. L’équation n’admet pas de solution réelle.

c. L’équation admet pour discriminant $\Delta _3=2^2-4\times 2\times \dfrac 1 2=0$.

L’équation admet pour unique solution $x_0=\dfrac{-2}{2\times 2}=-\dfrac 12$.

2 Factoriser des polynômes du second degré

Factoriser si possible les fonctions polynômes suivantes en produit de fonctions affines.

a. $P(x)=-x^2+2x+3$  
b. $Q(x)=\dfrac 13 x^2-\dfrac 13 x+\dfrac{1}{12}$
c. $R(x)=-3x^2+2x-1$
 Conseil

On détermine tout d’abord comme ci-dessus les racines éventuelles des polynômes du second degré, pour ensuite les factoriser.

 

Solution

À noter

Il n’y a pas unicité de la factorisation : pour tout $x\in \textbf R~,~P(x)=(-x-1)(x-3)=(x+1)(3-x)$.

a. $P$ admet pour discriminant $16$ et pour racines $-1$ et $3$, donc pour tout réel $x$ : $P(x)=-(x+1)(x-3)$.

b. $Q$ admet pour discriminant $0$ et pour unique racine $\dfrac 12$ , donc pour tout réel $x~,~ Q(x)=\dfrac 13\left(x-\dfrac12\right)^2$.

c. $R$ admet pour discriminant $-8$ et n’est pas factorisable dans R en produit de fonctions affines.