Fonctions de la variable réelle

I. Fonctions de référence

II. Fonctions polynômes de degré 2

Dans tout ce qui suit, a et b sont des constantes réelles avec a ≠ 0.

La représentation graphique d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole.

1) Fonctions $x↦ax^2$

Le sens de variation des fonctions $f : x↦ax^2$ est donné par les tableaux suivants :

f admet pour minimum f(0) = 0.

f admet pour maximum f(0) = 0.

La représentation graphique d’une fonction $x↦ax^2$ admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.

Les représentations graphiques des fonctions $x↦ax^2$ et g:$x↦-ax^2$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

Exemple

Sur la figure ci-contre, figurent les représentations graphiques des fonctions $f : x↦ax^2$, avec : a=−2, a=−1, a=−14, a=14, a=1, a=2.

2) Fonctions $x↦ax^2+b$

Dans un repère (O ; i→​, j→), la représentation graphique de la fonction $x↦ax^2+b$ est la transformée par la translation de vecteur $b\vec j$ de la représentation graphique de la fonction $x↦ax^ 2$.

Exemple

Sur la figure ci-contre, les représentations graphiques d’équations $y=1,2x^2+1,5$ et $y=1,2x^2-2$ sont respectivement les transformées par les translations de vecteur 1,5$\vec j$ et −2$\vec j$ de la représentation graphique d’équation $y=1,2x^2$.

3) Fonctions x↦a(x−x1)(x−x2)

La représentation graphique de la fonction $x↦a(x-x_1)(x-x_2)$ est une parabole ayant pour axe de symétrie la parallèle à l’axe des ordonnées coupant l’axe des abscisses au point d’abscisse $\dfrac{x_1+x_2}{2}$ .

Le sommet de cette parabole est le point (de la parabole) d’abscisse $\dfrac{x_1+x_2}{2}$.

III. Fonctions polynômes de degré 3

Les fonctions $f : x↦ax^3$ sont :

strictement croissantes sur ℝ dans le cas où a>0 ;

strictement décroissantes sur ℝ dans le cas où a<0.

La représentation d’une fonction $x↦ax^3$ est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Les représentations graphiques des fonction$f : x↦ax^3$ et $g : x↦-ax^3$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.

Dans un repère (O ; i→,  j→), la représentation graphique de la fonction $x↦ax^3+b$ est la transformée par la translation de vecteur b j→ de la représentation graphique de la fonction $x↦ax^3$.

La racine cubique d’un nombre réel c est la solution unique de l’équation$x^3=c$, notée $\sqrt[3] c$

IV. Programmation et fonctions

1) Fonctions en informatique

La syntaxe d’une fonction en langage Python est :

Attention

À ne pas oublier les deux points en fin de première ligne.

À respecter l’indentation, c’est-à-dire le décalage à droite après la première ligne.

À utiliser le mot-clé return pour renvoyer des résultats.

Une fonction peut avoir aucun, un ou plusieurs paramètres.

Exemple

Exemple de fonction avec un paramètre

On peut définir en langage Python une fonction mathématique d’une variable réelle comme la fonction f définie par $x↦x^3-x$ de la façon suivante.

Le résultat éventuel d’une fonction, renvoyé par le mot-clé return est​utilisable dans un programme ou une autre fonction.

2) Résolution approchée d’une équation par balayage

On suppose que l’équation f (x) = k admet une unique solution dans l’intervalle [a, b] et que la fonction f est dérivable et strictement monotone sur cet intervalle. La fonction Python suivante fournit un encadrement de la solution obtenu par un balayage dont le pas figure en paramètre.