I. Fonction exponentielle de base e
1) Définition et notation
Propriété
Il existe une valeur unique de a pour laquelle la courbe représentative de la fonction x↦ax a, au point d’abscisse 0, une tangente de coefficient directeur égal à 1.
L’étude des fonctions x↦ax figure au paragraphe ➀ du chapitre 2.
Cette valeur de a est notée e, e≈2,72.
Définition
La fonction x↦ex est la fonction exponentielle de base e, souvent appelée plus simplement fonction exponentielle.
À l’aide d’une calculatrice, découvrez e1,32, e–0,7.
2) Relations fonctionnelles
La fonction x↦ex possède les propriétés des fonctions x↦ax.
Pour tous nombres réels a et b, ea+b = ea × eb ; e–a=1ea et ea–b=eaeb ;
• Pour tout nombre réel a et tout nombre entier relatif n, ean=ena.
3) Dérivation
Théorème
La fonction exponentielle f : x↦ex est dérivable sur ℝ et a pour fonction dérivée f′: x↦ex.
La fonction exponentielle (de base e) est égale à sa fonction dérivée.
On en déduit la propriété suivante.
Propriété
Soit a et b des constantes réelles.
La fonction g : x↦eax+b est dérivable sur ℝ et g'(x)=a eax+b pour tout x réel.
Exemples
• Soit f la fonction définie sur ℝ par : fx=e12x+1. Pour tout x de ℝ, f′x=12 e12x+1.
• Soit f la fonction définie sur ℝ par : ft=–t+3e–t.
Pour tout t de ℝ. :
f′t=–1e–t+–t+3–e–t,
f′t=–1––t+3 e–t=–1+t–3 e–t=t–4 e–t
Un résultat de première : uv′=u′v+uv′.
4) Limites en − ∞ et en + ∞
Limite en + ∞
En remplissant un tableau de valeurs à l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur, on constate que ex augmente très vite quand x augmente (par exemple : e10 ≈ 22 026,5).
On démontre, et nous l’admettons, que 10n étant choisi aussi grand que l’on veut, ex est supérieur à 10n dès que x est assez grand. Cette propriété s’énonce :
« la limite de ex quand x tend vers + ∞ est égale à + ∞. »
Notation
limx→+ ∞ex=+ ∞
Limite en − ∞
D’après la relation e−x = 1ex, on a e−10 ≈ 122 026,5 ≈ 0,000 05. On constate que quand x « tend vers − ∞ », ex « tend vers zéro ».
On démontre, et nous l’admettons, que 10−n étant choisi aussi proche de 0 que l’on veut, ex est compris entre 0 et 10−n dès que le nombre négatif x est assez grand en valeur absolue. Cette propriété s’énonce : « la limite de ex quand x tend vers − ∞ est égale à 0 ».
Notation
limx→−∞ex =0.
Limites des fonctions monômes
Un théorème analogue concerne les fonctions monômes.
Théorème
Pour tout entier naturel non nul n, limx→+∞xn =+ ∞. limx→− ∞∞xn =+ ∞ si n est pair, − ∞ si n est impair.
5) Courbe représentative
Tableau de variation et courbe représentative
Croissance comparée en + ∞
Pour les grandes valeurs de x, l’exponentielle ex l’emporte sur toute fonction pussance xn.pour les grandes valeurs de x, l’exponentielle ex l’emporte sur toute fonction puissance xn.
Théorème
Pour tout nombre entier naturel n, limx→+∞ex xn=+ ∞ et limx→+∞xne−x =0.
II. Fonction logarithme népérien
1) Définition
Définition
Soit a un nombre réel strictement positif.
Le logarithme népérien de a, noté ln (a) ou plus simplement ln a, est le nombre b tel que eb = a.
Exemples
• e0 = 1, donc ln 1 = 0.
• e1 = e, donc ln e = 1.
À retenir
La fonction logarithme népérien est la fonction définie sur 0, + ∞ par : x↦y=lnxavec x=ey.
Exemples
La touche
de la calculatrice, ou la fonction LN() d’un tableur permettent d’obtenir la valeur numérique de ln(x) pour tout x > 0 avec une précision suffisante.
Par exemple : ln 2 ≈ 0,693 ; ln 3 ≈ 1,098…
2) Propriétés algébriques
Le logarithme népérien a les mêmes propriétés algébriques que le logarithme décimal.
Propriétés
Pour tous nombres réels strictement positifs a et b, pour tout entier naturel n et pour tout réel x :
ln (a × b) = ln a + ln b ; ln 1a = − ln a ; ln ab = log a − log b ;
ln (an) = n ln a ; ln (a) = 12ln a ; ln (ax) = x ln a .
3) Lien avec le logarithme décimal
Propriété
Pour tout nombre réel strictement positif x, log x = ln xln 10.
4) Variations et courbe représentative
Dérivée
Propriété
La fonction logarithme népérien ln est dérivable sur son intervalle de définition ]0, + ∞[ et ln′(x) = 1x.
Limites
Théorème
limx→+ ∞lnx=+ ∞ ; limx→0 lnx=− ∞ ; limx→+ ∞lnxx=0.
Tableau de variation et courbe représentative
Propriété
La fonction logarithme népérien ln est strictement croissante sur son intervalle de définition ]0, + ∞[.
Conséquences
À retenir
Pour tous nombres réels strictement positifs a et b : a < b si et seulement si ln a < ln b ;
a = b si et seulement si ln a = ln b.
Pour tout nombre réel strictement positif a : si 0 < a < 1, alors ln a < 0 ; si a > 1, alors ln a > 0.