Fonction carrée

La fonction carré a pour courbe une parabole. Elle est caractéristique des fonctions du second degré qui ont la forme particulière d’une cloche ou d’un vase.

I Définition et propriétés

La fonction carré est la fonction définie sur ℝ par :

f(x) = x²

La fonction carré est décroissante sur l’intervalle ]–∞ ; 0] et croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.

En effet, pour tous réels a et b : f(b) – f(a) = b²– a² = (b – a)(b + a).

Donc, si a ⩽ b et a et b négatifs, alors b – a ⩾ 0 et b + a ⩽ 0 et par conséquent (b – a)(b + a) ⩽ 0, soit f(b) – f(a) ⩽ 0 et f(a) ⩾ f(b).

Si a ⩽ b et a et b positifs alors (b – a)(b + a) ⩾ 0 et donc f(a) ⩽ f(b).

La fonction carré est paire car pour tout x ∈ ℝ, f(–x) = (–x)² = x² = f(x). La courbe représentative de la fonction carré a donc un axe de symétrie, c’est l’axe des ordonnées. Cette courbe s’appelle une parabole.

II Les paraboles x ↦ kx² où k est une constante

1 Résoudre graphiquement des équations

On se propose de résoudre graphiquement les équations d’inconnue x du type x² = k, où k est un réel que l’on fixe comme on veut.

1. Dire comment la figure ci-contre permet d’affirmer que l’équation

x²= k a deux solutions.

2. Discuter, suivant les valeurs de k, le nombre de solutions de l’équation x² = k.

Repère
ConseilS

1. Faites le lien entre a et l’ordonnée du point A, de même pour le point B.

2. Faites varier k sur l’axe des ordonnées.

solution

1. On a f(a) = k ⇔ a² = k et f(b) = k ⇔ b² = k. L’équation x² = k a donc deux solutions qui sont a et b. D’ailleurs, $a=–\sqrt{k}$ et $b=\sqrt{k}$.

2. • Si k > 0, alors la droite horizontale coupe la parabole en deux points, donc l’équation a deux solutions.

• Si k = 0, alors l’équation n’a qu’une solution, qui est 0.

• Si k < 0, l’équation n’a pas de solution.

2 Résoudre graphiquement des inéquations

Quelles inéquations la figure ci-dessous permet-elle de résoudre (k ⩾ 0) ?

conseilS

Faites le lien entre la partie hachurée en bleu et la partie hachurée en rouge.

solution

On a x² ⩾ k ⇔ x ∈ ]–∞ ; a] ∪ [b ; +∞[. Et x² > k ⇔ x ∈ ]–∞ ; a[ ∪ ]b ; +∞[.

On peut lire que x² < k ⇔ x ∈ ]a ; b[ et x² ⩽ k ⇔ x ∈ [a ; b].