Factoriser des expressions

Légende de la leçon

Vert : définition.

I. Rappels de cours

1) Factoriser une expression

Factoriser, c’est transformer une somme en produit.

Pour cela, on utilise soit la propriété de distributivité, soit les identités remarquables.

2) Propriété de distributivité

Quels que soient les nombres $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ et $f$, on a :

• $a\times b+a\times c=a\times (b+c)$

• $(ax+b)(cx+d)+(ax+b)(ex+f)=(ax+b)[(cx+d)+(ex+f)]$

(tenir le téléphone en mode paysage au besoin)

II. Méthodes

1) Factoriser à l’aide de la propriété de distributivité

Factoriser les expressions suivantes :

$A=3x^2-9x$

$B=(2x+7)^2-3(2x+7)(-x+1)$

Conseils

• Pour factoriser A, remarque que $3x$ est un facteur commun.

• Pour factoriser B, remarque que $(2x+7)$ est un facteur commun.

Solution

• $A=3x\times x-3x\times 3$

Mettons $3x$ en facteur. Alors $A=3x(x-3)$.

• $B=(2x+7)(2x+7)-3(2x+7)(-x+1)$

Mettons $(2x+7)$ en facteur :

$B=(2x+7)[(2x+7)-3(-x+1)]$

$B=(2x+7)(2x+7+3x-3)$

$B=(2x+7)(5x+4)$

2) Factoriser à l’aide des identités remarquables

Factoriser les expressions suivantes :

$C=9x^2-30x+25$

$D=64x^2-121$

$E=(-z+3)^2-(4+3z)^2$

$F=4-9x^2+(2+3x)(-5x+8)$

Conseils

• Pour factoriser l’expression C, utilise l’identité remarquable :

$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$. (hors programme)

• Pour factoriser les expressions $D$ et $E$, utilise l’identité remarquable : $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

• Pour factoriser F, utilise une identité remarquable puis la ­propriété de distributivité.

Solution

À noter

Pour reconnaître les identités remarquables, commence par repérer les nombres élevés au carré.

• $C=(3x)^2-2\times (3x)\times 5+5^2$, donc $C=(3x-5)^2$.

• $D=(8x)^2-(11)^2$, donc $D=(8x+11)(8x-11)$.

• Posons $a=-z+3$ et $b=4+3z$, alors l’identité remarquable $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ permet d’écrire :

$E=[(-z+3)+(4+3z)][(-z+3)-(4+3z)]$

$E=(-z+3+4+3z)(-z+3-4-3z)$

$E=(2z+7)(-4z-1)$.

• Posons $G=4-9x^2$.

On a $G=2^2-(3x)^2$, soit $G=(2+3x)(2-3x)$ d’après l’identité remarquable $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

Alors : $F=(2+3x)(2-3x)+(2+3x)(-5x+8)$.

$F=(2+3x)[(2-3x)+(-5x+8)]$,

soit    $F=(2+3x)(-8x+10)$.

Aide

Garde sous les yeux les différentes identités remarquables (sur une fiche par exemple) lorsque tu essayes de résoudre ces exercices.