Équations du premier degré à une inconnue - 2nde Mathématiques

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Les équations auxquelles on s’intéresse dans cette fiche peuvent toutes se ramener à une équation du type : $ax=b$, où $x$ est l’inconnue et $a\neq 0$.

I. Principes de résolution

1)  Principe de développement

Ce principe s’utilise quand l’équation comporte des parenthèses : il consiste à commencer par développer en supprimant les parenthèses avant d’appliquer le principe d’équilibre.

Exemple : $8x-2=3(x+7)\iff 8x-2=3x+21$

À noter

Le symbole $\iff$ signifie « équivaut à ».

2)  Principe d’équilibre

Le principe d’équilibre doit concourir à un but unique : obtenir une équation de la forme $ax=b$ équivalente à l’équation de départ.

Lorsque l’on additionne ou soustrait le même nombre aux deux membres d’une équation, on obtient une équation qui lui est équivalente.

De même, lorsque l’on multiplie ou divise les deux membres d’une équation par le même nombre différent de 0, on obtient une équation équivalente.

On ne change donc pas l’équilibre de l’égalité en effectuant la même opération des deux côtés du signe d’égalité.

Exemple : On poursuit la résolution de l’équation de l’exemple précédent.

On a : $8x-2=3x+21\iff 8x-2+2=3x+21+2$

(on additionne 2 aux deux membres de l’équation).

Après calculs : $8x-2=3x+21\iff 8x=3x+23$.

En outre : $8x=3x+23\iff 8x-3x=3x-3x+23\iff 5x=23$

(principe d’équilibre), donc :

$8x-2=3(x+7)\iff 5x=23\iff \dfrac{5x}{5}=\dfrac{23}{5}\iff x=\dfrac{23}{5}$

(principe d’équilibre).

Finalement, la solution de l’équation $8x-2=3(x+7)$ est $\dfrac{23}{5}$.

II. Trucs et astuces

Si des expressions en $x$ figurent au dénominateur, on utilise le produit en croix.

Exemple : Si $x\neq 0$ et $x\neq -1$ alors $\dfrac{8}{x+1}=\dfrac{-3}{x}\iff 8x=-3(x+1)$

S’il y a des fractions dans les membres des équations, il suffit de chasser les dénominateurs pour se ramener à des équations à coefficients entiers.

Exemple : $\dfrac 23x+1=\dfrac 14\iff 12\times \left(\dfrac 23x+1\right)=12\times \dfrac 14\iff 8x+12=3$

Méthode

Résoudre un problème du premier degré

On considère le rectangle $ABCD$ tel que $AD=12$ cm et $AB=5$ cm, et un point $M$ sur le segment $[AB]$.

Est-il possible de placer $M$ pour que l’aire du triangle $ADM$ soit égale à chacune des aires suivantes ?

a. 24 cm²

b. 30 cm²

c. 33 cm²

Conseils

Pour résoudre ce problème, on traduit la question à l’aide d’une équation. On calcule l’aire du triangle ADM (qui est rectangle en A) et on s’aperçoit qu’il est naturel de définir la longueur AM comme inconnue.

Solution

L’aire du triangle $ADM$, en cm², est égale à $\dfrac{AM\times AD}{2}$, donc $AM\times \dfrac{12}{2}$ ou encore $6\times AM$.

Il est naturel de choisir la longueur $AM$ comme inconnue : $x$ est donc la longueur $AM$, d’où $AM=x$. L’aire cherchée s’écrit alors $6x$.

La question posée dans ce problème se traduit par conséquent de la façon suivante : les équations $6x=24\quad ;\quad 6x=30\quad \text{et } 6x=33$ ont-elles des solutions ?

a. La solution de l’équation $6x=24$ est $x=4$.

Donc, pour que l’aire du triangle $ADM$ soit égale $24$ cm², il faut placer $M$ à $4$ cm de $A$.

À noter

Le point M ne peut pas se situer en dehors du segment [AB].

Donc 0 < AM ⩽ 5.

C’est pourquoi 0 < x ⩽ 5.

b. La solution de l’équation $6x=30$ est $5$.

Donc, pour que l’aire soit égale à $30$ cm², il faut placer $M$ à $5$ cm de $A$, c’est-à-dire en $B$.

c. La solution de l’équation $6x=33$ est $\dfrac{33}{6}=5,5$.

L’équation $6x=33$ admet donc une solution. ­Cependant, cette solution ne fournit aucune position possible de $M$ car on doit avoir x ⩽ 5. Il est donc impossible de trouver une place à $M$ pour que l’aire du triangle $ADM$ soit égale à $33$ cm².