Équations cartésiennes de droites

Comment peut-on caractériser, avec leurs coordonnées, tous les points appartenant à une droite du plan ? Cela revient à chercher une équation de cette droite.

I Vecteurs directeurs d’une droite

Un vecteur directeur d’une droite est un vecteur qui a la même direction que cette droite.

Sur la figure, les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs directeurs de la droite d.

Une droite a une infinité de vecteurs directeurs qui sont tous colinéaires.

Deux points A et B d’une droite définissent un vecteur directeur $\overrightarrow{\text{AB}}$.

II Équations cartésiennes d’une droite

Soit A(xA ; yA) un point du plan, $\overrightarrow{u}(a;b)$ un vecteur non nul et d la droite passant par A et dont un vecteur directeur est $\overrightarrow{u}$.

Théorème. Un point M(x ; y) appartient à d si et seulement si $\overrightarrow{\text{AM}}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.

Autrement dit : un point M(x ; y) appartient à d si et seulement si le déterminant de $\overrightarrow{\text{AM}}$ et $\overrightarrow{u}$ est égal à 0.

Comme les coordonnées de $\overrightarrow{\text{AM}}$ sont (x – xA ; y – yA), on a :

Repère
À noter

u = b, v = – a et w = – bxA + ayA.

M(x ; y) ∈ d ⇔ (x – xA)b – (y – yA)a = 0

En développant l’expression précédente on trouve une condition de la forme ux + vy + w = 0 où u, v et w sont des constantes. Cette équation s’appelle une équation cartésienne de d.

Remarque : 2x – 3y + 1 = 0 est une équation cartésienne d’une droite. En multipliant par 5 on obtient une autre équation cartésienne : 10x –15y + 5 = 0. Donc une droite a une infinité d’équations cartésiennes.

Pour trouver une équation cartésienne d’une droite (AB), on utilise le théorème avec A et $\overrightarrow{\text{AB}}$ par exemple.

Théorème. Soit u et v deux nombres réels dont l’un des deux au moins est différent de 0. Alors toute équation du type ux + vy + w = 0 est l’équation cartésienne d’une droite dont un vecteur directeur a pour coordonnées (– v ; u).

Ce théorème est admis et il découle du théorème précédent.

Méthode

Déterminer une équation de droite à partir d’un point et d’un vecteur directeur

1. 
a. Déterminer une équation de la droite d passant par le point A(–1 ; 4) et dont un vecteur directeur est $\overrightarrow{u}(2;–3)$, que l’on écrira sous la forme :

ux + vy + w = 0 avec u > 0 et v > 0.

b. Est-il possible que l’on ait u > 0 et v < 0 ?

2.
a. Les points B(1 ; 1), C(10 ; 10) et D(–5 ; 10) appartiennent-ils à d ?

b. Trouver x et y pour que les points E(x ; –6) et F(12 ; y) appartiennent à d.

c. Le point B est-il le seul point de la droite d dont l’abscisse soit égale à l’ordonnée ?

Repère
Conseils

1. Utilisez la méthode du déterminant.

2. Un point de coordonnées (x ; y) appartient à la droite d si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation cartésienne de la droite d.

solution

1.
a. Un point M(x ; y) appartient à d si et seulement si le déterminant de $\overrightarrow{\text{AM}}$ et $\overrightarrow{u}$ est égal à 0.

Or les coordonnées de $\overrightarrow{\text{AM}}$ sont (x + 1 ; y – 4). Le déterminant de $\overrightarrow{\text{AM}}$ et $\overrightarrow{u}$ est donc (–3)(x + 1) – 2(y – 4) = –3x – 3 – 2y + 8 = –3x – 2y + 5.

Une équation de d est donc –3x – 2y + 5 = 0, ou, près multiplication par –1, 3x + 2y – 5 = 0. (Ici, u = 3, v = 2 et w = –5.)

b. Il n’est pas possible que l’on ait u > 0 et v < 0 car toute équation de d est de la forme k(3x + 2y – 5) = 0 où k est une constante non nulle. Par conséquent u et v sont de même signe.

2.
a. 3 × 1 + 2 × 1 – 5 = 0 donc B ∈ d.

3 × 10 + 2 × 10 – 5 ≠ 0 donc C ∉ d.

3 × (–5) + 2 × 10 – 5 = –15 + 20 – 5 = 0 donc D ∈ d.

b. Pour que l’on ait E ∈ d, il faut et il suffit que 3x + 2 × (–6) – 5 = 0 c’est-à-dire :

$3x–12–5=0\iff 3x–17=0\iff x=\frac{17}{3}$.

Pour que l’on ait F ∈ d, il faut et il suffit que :

$3\times 12+2y–5=0\iff 36+2y=5\iff 2y=–31\iff y=–\frac{31}{2}$.

c. M(x ; x) ∈ d ⇔ 2x + 3x – 5 = 0 ⇔ 5x = 5 ⇔ x = 1. B est donc le seul point de d dont l’abscisse soit égale à l’ordonnée.