Équation cartésienne d'une droite

I. Vecteur directeur d’une droite

Définition

Un vecteur directeur d’une droite $(d)$ est un vecteur non nul dont la direction est celle de $(d)$.

Remarques

$\circ\quad$ Attention : le sens n’est pas forcément le même ! Ce qui compte, c’est la direction.

$\circ\quad$ Deux vecteurs directeurs d’une même droite sont colinéaires.

II. Comment définir une droite ?

Une droite peut être définie par :

Un point appartenant à la droite.

Un vecteur directeur de la droite.

Vecteur directeur d’une droite

$\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $(d)$.

$\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$.

Tout multiple non nul de $\overrightarrow{u}$, soit $k \overrightarrow{u}$ avec $k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, est aussi un vecteur directeur de $(d)$.

Ainsi, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.

Propriété

Soit $M$ un point et $(d)$ une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ passant par un point $A$.

$M \in (d) \quad \Leftrightarrow \quad \overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.

III. Équation cartésienne d’une droite

Propriété 1

Toute droite a une équation cartésienne de la forme : $ax+by+c=0$ avec $a$ et $b$ non nuls tous les deux à la fois.

Le vecteur $\overrightarrow{u}(-b ; a)$ est un vecteur directeur de la droite.