Ecriture exponentielle d'un nombre complexe

I. Fonction exponentielle complexe

Théorème

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(\theta) = \cos \theta + \mathcal{i} \sin \theta$.

$\circ\quad$ En utilisant les formules d’addition du cosinus et du sinus, on montre que, pour tous réels $\theta$ et $\theta'$ : $f(\theta + \theta') = f(\theta) \times f(\theta')$.

$\circ\quad$ De plus, $f(0) = 1$.

$\circ\quad$ Par analogie avec la fonction exponentielle dans $\mathbb{R}$, on pose :

$f(\theta) = \text{e}^{\mathcal{i} \theta}$, soit : $\text{e}^{\mathcal{i} \theta} = \cos \theta + \mathcal{i} \sin \theta$.

$\circ\quad$ On a : $|\text{e}^{\mathcal{i} \theta}| = 1$ et $\arg(\text{e}^{\mathcal{i} \theta}) = \theta [2\pi]$.

Exemple :

$\text{e}^{\mathcal{i} \frac{\pi}{2}} = \cos \frac{\pi}{2} + \mathcal{i} \sin \frac{\pi}{2} = \mathcal{i}$.

II. Forme exponentielle d'un complexe non nul

Définition :

Tout nombre complexe $z$ non nul s’écrit sous la forme :

$z = r \text{e}^{\mathcal{i} \theta}$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z) [2\pi]$.

Cette écriture est appelée forme exponentielle de $z$.

Réciproquement, si $z$ est un nombre complexe tel que : $z = r \text{e}^{\mathcal{i} \theta}$ avec r > 0 , alors :

$r = |z|$ et $\theta = \arg(z) [2\pi]$.

Exemple :

Soit $z = 1 + \mathcal{i}$.

$|z| = \sqrt{2}$ et $\arg(z) = \dfrac{\pi}{4} [2\pi]$.

Donc : $z = \sqrt{2} \text{e}^{\mathcal{i} \frac{\pi}{4}}$.

Remarque :

Pour obtenir une forme exponentielle, il faut impérativement avoir r > 0 .

Par exemple, $-2 \text{e}^{-\mathcal{i} \frac{\pi}{6}}$ n’est pas une forme exponentielle.

III. Propriétés

Pour tous nombres réels $\theta$ et $\theta'$ :

$\circ\quad$ $\text{e}^{\mathcal{i} \theta} \times \text{e}^{\mathcal{i} \theta'} = \text{e}^{\mathcal{i} (\theta + \theta')}$.

$\circ\quad$ Pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $(\text{e}^{\mathcal{i} \theta})^n = \text{e}^{\mathcal{i} n \theta}$.

$\circ\quad$ Pour tout $k \in \mathbb{Z}$, $\text{e}^{\mathcal{i} (\theta + 2k\pi)} = \text{e}^{\mathcal{i} \theta}$.

$\circ\quad$ $\dfrac{1}{\text{e}^{\mathcal{i} \theta}} = \text{e}^{-\mathcal{i} \theta}$.

$\circ\quad$ $\dfrac{\text{e}^{\mathcal{i} \theta}}{\text{e}^{\mathcal{i} \theta'}} = \text{e}^{\mathcal{i} (\theta - \theta')}$.

Théorème : Égalité de deux exponentielles complexes

Pour tous nombres réels $\theta$ et $\theta'$ : $\text{e}^{\mathcal{i} \theta} = \text{e}^{\mathcal{i} \theta'} \Leftrightarrow \theta = \theta' [2\pi]$.

Théorème : Formule de Moivre

Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ et tout $n \in \mathbb{Z}$ : $(\cos \theta + \mathcal{i} \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + \mathcal{i} \sin(n\theta)$.

Théorème : Formule d’Euler

Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ : $\cos \theta = \dfrac{\text{e}^{\mathcal{i} \theta} + \text{e}^{-\mathcal{i} \theta}}{2}$ et $\sin \theta = \dfrac{\text{e}^{\mathcal{i} \theta} - \text{e}^{-\mathcal{i} \theta}}{2\mathcal{i}}$.